11 класс решить уравнения
Давайте решим уравнение \(2 \log_7 x + \log_7 (x - 3) = 1\).
Шаг 1: Применим свойства логарифмов
Сначала упростим выражение, используя свойство суммы логарифмов:
\[ a \log_b m + \log_b n = \log_b (m^a) + \log_b n = \log_b (m^a \cdot n) \]
В нашем случае:
\[ 2 \log_7 x = \log_7 (x^2) \]
Таким образом, уравнение становится:
\[ \log_7 (x^2) + \log_7 (x - 3) = 1 \]
Шаг 2: Объединим логарифмы
Теперь объединим логарифмы:
\[ \log_7 (x^2) + \log_7 (x - 3) = \log_7 (x^2 \cdot (x - 3)) \]
Таким образом, уравнение выглядит как:
\[ \log_7 (x^2 (x - 3)) = 1 \]
Шаг 3: Преобразуем логарифмическое уравнение
Эквивалентность логарифма:
\[ \log_b a = c \quad \Rightarrow \quad a = b^c \]
Таким образом, имеем:
\[ x^2 (x - 3) = 7^1 = 7 \]
Шаг 4: Решим полученное уравнение
Раскроем скобки и решим кубическое уравнение:
\[ x^3 - 3x^2 = 7 \]
\[ x^3 - 3x^2 - 7 = 0 \]
Шаг 5: Найдем корни уравнения
Уравнение кубическое и его можно решать методами поиска целых корней или использовать численные методы, но в школьной программе обычно анализируют возможные целые корни:
Исходя из теоремы Виета, для целых корней попробуем перебор чисел, которые могут делиться на 7:
\(x = 1\): \[1^3 - 3 \cdot 1^2 - 7 = 1 - 3 - 7 = -9 \neq 0\]
\(x = 2\): \[2^3 - 3 \cdot 2^2 - 7 = 8 - 12 - 7 = -11 \neq 0\]
\(x = 3\): \[3^3 - 3 \cdot 3^2 - 7 = 27 - 27 - 7 = -7 \neq 0\]
\(x = 4\): \[4^3 - 3 \cdot 4^2 - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 \neq 0\]
\(x = 5\): \[5^3 - 3 \cdot 5^2 - 7 = 125 - 75 - 7 = 43 \neq 0\]
\(x = 7\): \[7^3 - 3 \cdot 7^2 - 7 = 343 - 147 - 7 = 189 \neq 0\]
Таким образом, пробные целые корни, кажется, просто не подходят, и стоит использовать графическое решение (например, графический калькулятор) или метод проб и ошибок для приближенного решения. Возможное примерное значение корня \(x \approx 4.57\).
Условие существования
Для логарифмов необходимо, чтобы \(x > 0\) и \(x - 3 > 0\), то есть \(x > 3\). Поэтому найденное приближенное значение удовлетворяет данным условиям.
