{x²-y=14 x-y=8
Для решения системы уравнений
\[ \begin{cases} x^2 - y = 14 \\ x - y = 8 \end{cases} \]
используем метод подстановки. Давайте шаг за шагом разберемся с этим.
Шаг 1: Выражаем \( y \) из второго уравнения
Из второго уравнения \( x - y = 8 \) можем выразить \( y \):
\[ y = x - 8 \]
Шаг 2: Подставляем значение \( y \) в первое уравнение
Теперь подставим \( y \) в первое уравнение \( x^2 - y = 14 \):
\[ x^2 - (x - 8) = 14 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Упрощаем полученное уравнение:
\[ x^2 - x + 8 = 14 \]
Теперь, перенесем 14 на левую сторону:
\[ x^2 - x + 8 - 14 = 0 \]
Таким образом, получим:
\[ x^2 - x - 6 = 0 \]
Шаг 4: Решаем квадратное уравнение
Мы имеем квадратное уравнение, которое можем решить с помощью дискримината. Для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -6 \):
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Шаг 5: Находим корни уравнения
Корни уравнения находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем наши значения:
\[ x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2} \]
Теперь вычислим:
- \( x_1 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
Шаг 6: Находим соответствующие \( y \)
Теперь, когда мы нашли \( x \), подставим их обратно в уравнение \( y = x - 8 \):
Для \( x = 3 \): \[ y = 3 - 8 = -5 \]
Для \( x = -2 \): \[ y = -2 - 8 = -10 \]
Ответ
Таким образом, у нас есть два решения системы:
- \( (x, y) = (3, -5) \)
- \( (x, y) = (-2, -10) \)
Это означает, что решения системы уравнений — это точки \( (3, -5) \) и \( (-2, -10) \).
