Вариант 2 Контрольная работа по теме «Треугольники» 1.Найдите периметр треугольника, если два его угла равны, а две стороны имеют длины 50 см и 40 см. 2.В треугольнике АВС АВ=ВС. Точки М и Н - середины сторон АВ и ВС. Проведены прямые MD и HE, перпендикулярные к прямой AС. Докажите, что ДAMD=AСНE. что треугольник АОС равнобедренный. 3.Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Точки D и Е лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, AD=CE. DC пересекает АE в точке О. Докажите. 4.Даны треугольники АВС и B1C1 с высотами CD и C1 D1; угол В равен углу В1 (по 45 ). CD=C1D1, AB=A1B1. Докажите, что ДАВC=ДА1B1C1. 5.В равнобедренном треугольнике АВС BD - высота, проведённая к основанию. Точки М и Н принадлежат сторонам AВ и ВС соответственно. Луч DB - биссектриса угла MDH. Докажите, что АМ=НС.

Давайте подробно разберем каждый из пунктов задачи, чтобы понять, как решать такие задачи по геометрии. --- ### Задача 1: Периметр треугольника **Условия:** Два угла равны, две стороны 50 см и 40 см. **Объяснение:** Так как два угла треугольника равны, треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Обозначим углы равного размера как α и третьим углом как β. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, мы имеем: \[ 2α + β = 180° \] Теперь, поскольку известны две стороны, можно предположить, что одна сторона равна другой (в данном случае, 50 см). Мы можем использовать оставшиеся стороны для нахождения периметра. Периметр \( P \) равен сумме всех сторон: \[ P = a + b + c \] Пусть \( a = 50 \) см, \( b = 50 \) см (равные стороны), и \( c = 40 \) см. Теперь подставим значения: \[ P = 50 + 50 + 40 = 140 \text{ см} \] **Ответ:** Периметр равен 140 см. --- ### Задача 2: Доказательство углов **Условия:** \( AB = BC \), M и N - середины, проведены прямые MD и HE, перпендикулярные AC. **Объяснение:** 1. Так как \( AB = BC \) и \( M \) и \( N \) - середины, треугольник \( AMN \) равнобедренный. 2. Углы \( AMB \) и \( ANC \) равны, поскольку они противолежащие. 3. Перпендикуляры MD и HE образуют углы 90° с AC, что указывает на равные расстояния от точек M и N до AC. 4. Таким образом, по симметрии \( ∠AMD = ∠AHE \). Теперь показываем, что \( ∠AMD = ∠AHE \), и следовательно, выводим, что треугольник \( AOC \) равнобедренный. **Ответ:** \( \triangle AOC \) равнобедренный. --- ### Задача 3: Равнобедренный треугольник **Условия:** \( AD=CE \). **Объяснение:** 1. Даем обозначение: \( AD = CE = x \). 2. В треугольнике \( ABC \) проведем линии \( DC \) и \( AE \), создавая точку пересечения O. 3. Сравниваем треугольники \( ADO \) и \( CEO \). 4. Они имеют общую сторону BO, одну из оснований (AD и CE равны), и углы AOD и COE равны (по равенству углов в равнобедренном). По критерию равенства треугольников по 2 сторонам и углу между ними можем утверждать, что: \( AO = CO \). **Ответ:** Доказано. --- ### Задача 4: Доказательство треугольников **Условия:** Высоты \( CD \) и \( C_1 D_1 \) равны, угол \( B = B_1 = 45° \). **Объяснение:** 1. Высота из угла указывает на равенство двух треугольников. 2. Так как углы \( B \) и \( B_1 \) равны, и высоты \( CD \) и \( C_1 D_1 \) равны, делаем вывод о равенстве высот. 3. По критерию ССS (сторона-угол-сторона) треугольники равны. **Ответ:** \( \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 \). --- ### Задача 5: Свойства биссектрисы **Условия:** \( AD \) - высота, \( BD \) - биссектрисы. **Объяснение:** 1. Углы \( MDH \) показывают, что \( DB \) является биссектрисой. Это создает равное расстояние от точек M и N до базовой линии. 2. Можем утверждать, что по свойству биссектрисы стороны напротив равны: \( AM = NH \). **Ответ:** Доказано, что \( AM = NH \). --- Если есть дополнительные вопросы по задачам или другим темам — задавайте!