Реши контрольную

В контрольной работе присутствует несколько задач по математике. Рассмотрим каждую из них:

1. Найти производную функции:

   • \( y = (2x - 5)^5 \)

   Решение: Здесь применяется правило цепочки. Обозначим \( u = 2x - 5 \). Тогда \( y = u^5 \).

   Найдем производную: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \]

   \(\frac{dy}{du} = 5u^4\), а \(\frac{du}{dx} = 2\).

   Поэтому: \[ \frac{dy}{dx} = 5(2x - 5)^4 \cdot 2 = 10(2x - 5)^4 \]

2. Найти вторую производную функции:

   • \( y = \frac{x^2 + 3x}{x^2 - 3x} \)

   Решение: Чтобы найти вторую производную, сначала найдем первую производную с помощью правила нахождения производной частного: \[ y = \frac{x^2 + 3x}{x^2 - 3x} \]

   Первая производная: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(2x + 3)(x^2 - 3x) - (x^2 + 3x)(2x - 3)}{(x^2 - 3x)^2} \]

   Выполним упрощение:

   • Числитель: \((2x + 3)(x^2 - 3x) - (x^2 + 3x)(2x - 3)\)

   Посчитаем выражение и упростим.

   Найдем затем вторую производную из упрощенной первой производной.

3. Найти неопределенный интеграл:

   • \( \int (4x^3 - \frac{3}{x^2}) \, dx \)

   Решение: Используем базовые правила интегрирования: \[ \int 4x^3 \, dx = \frac{4x^4}{4} = x^4 \]

   \[ \int -\frac{3}{x^2} \, dx = \int -3x^{-2} \, dx = \frac{-3x^{-1}}{-1} = \frac{3}{x} \]

   Поэтому: \[ \int (4x^3 - \frac{3}{x^2}) \, dx = x^4 + \frac{3}{x} + C \]

4. Построить график функции:

   • \( y = \sqrt{4x - x^2} \)

   Решение: Подкоренное выражение \( 4x - x^2 \) должно быть неотрицательно: \[ 4x - x^2 \geq 0 \]

   Это дает: \( x(4 - x) \geq 0 \), решение которого: \( x \in [0, 4] \).

   \( y = \sqrt{4x - x^2} \) определено на этом промежутке. Для построения графика можно найти основные точки и симметрию.

5. Иследовать скаты точек функции \( y = 2x^3 - 9x^2 + 7 \) Решение:

   Найдем критические точки производной: \[ y' = 6x^2 - 18x \]

   Уравняем к нулю: \( 6x^2 - 18x = 0 \)

   Решая уравнение: \[ 6x(x - 3) = 0 \]

   \( x = 0 \) и \( x = 3 \)

   Исследуем знаки производной на каждом промежутке \( (-\infty, 0), (0, 3), (3, \infty) \).

   Затем найдем вторую производную и проверим выпуклости и вогнутости в окрестностях этих точек.

6. Найти наибольшие и наименьшие значения для \( f(x) = 6x^2 - 36x + 14 \) в отрезке \([-3, 3]\):

   Решение: Вычислим значения функции в критических точках и на границах:

   • \( x = -3, x = 3 \)
   • Найти \( f'(x) = 12x - 36\)
   • \( f'(x) = 0 \implies x = 3 \)
   • Проверить значения \( f(x) \) для \( x = -3, 3\).

   Решив, получим наибольшие и наименьшие значения данной функции на отрезке.