Решите

Для решения неравенства \(\frac{2x + 3}{(x - 2)(x - 1)} \geq 0\), следуй пошаговым инструкциям:

1. Найди нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: \(2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\).
   • Знаменатель: \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\); \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\).

2. Определи критические точки:

   Критические точки - это \(x = -\frac{3}{2}\), \(x = 2\), и \(x = 1\).

3. Определи интервалы:

   Раздели числовую прямую на интервалы с помощью критических точек:

   • \((-\infty, -\frac{3}{2})\)
   • \((- \frac{3}{2}, 1)\)
   • \((1, 2)\)
   • \((2, \infty)\)

4. Проверь знак выражения в каждом интервале:

   • Для интервала \((-\infty, -\frac{3}{2})\): выберем \(x = -2\). \[ \frac{2(-2) + 3}{(-2 - 2)(-2 - 1)} = \frac{-4 + 3}{-4 \cdot -3} = \frac{-1}{12} < 0 \]

   • Для интервала \((- \frac{3}{2}, 1)\): выберем \(x = 0\). \[ \frac{2(0) + 3}{(0 - 2)(0 - 1)} = \frac{3}{2} > 0 \]

   • Для интервала \((1, 2)\): выберем \(x = 1.5\). \[ \frac{2(1.5) + 3}{(1.5 - 2)(1.5 - 1)} = \frac{6}{-0.5 \cdot 0.5} = -\frac{12}{0.25} < 0 \]

   • Для интервала \((2, \infty)\): выберем \(x = 3\). \[ \frac{2(3) + 3}{(3 - 2)(3 - 1)} = \frac{9}{2} > 0 \]

5. Определи включая/исключая точки:

   • В точке \(x = -\frac{3}{2}\) числитель равен нулю, выражение равно нулю, и эта точка удовлетворяет \(\geq 0\).
   • Точки \(x = 1\) и \(x = 2\) делают знаменатель равным нулю, они не включены.

6. Запиши решение:

   \[ x \in [-\frac{3}{2}, 1) \cup (2, \infty) \]

Это решение и объяснение помогут понять, как решать подобные неравенства.