Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку и разберем их с подробными объяснениями.
Задача 1
В задаче говорится, что вероятность выигрыша в каждой попытке равна 0,5. Нам нужно найти вероятность выигрыша ровно трех предметов из четырех попыток.
Эта задача решается с помощью биномиального распределения. Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где:
- (n) — общее количество испытаний (в нашем случае 4),
- (k) — количество успешных испытаний (в данном случае 3),
- (p) — вероятность успеха в каждом испытании (0,5),
- (C(n, k)) — биномиальный коэффициент, равный (\frac{n!}{k!(n-k)!}).
Теперь подставим значения в формулу.
Сначала найдем биномиальный коэффициент:
[
C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1!} = \frac{4}{1} = 4
]
Теперь подставляем в формулу вероятности:
[
P(X = 3) = 4 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{4-3}
]
[
P(X = 3) = 4 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^1 = 4 \cdot (0.5)^4 = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25
]
Таким образом, вероятность выигрыша ровно трех предметов равна 0.25.
Задача 2
Нам нужно понять, что вероятнее: одно или десять бракованных изделий в партии из десяти изделий, если вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,2.
Эта задача также решается с помощью биномиального распределения. В данном случае:
Сравним вероятности для (k=1) и (k=10).
Вероятность того, что будет 1 бракованное изделие:
[
P(X = 1) = C(10, 1) \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^9
]
[
C(10, 1) = 10
]
Подставляем:
[
P(X = 1) = 10 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^9
]
[
P(X = 1) = 10 \cdot 0.2 \cdot 0.134217728 \approx 0.268435456
]
Вероятность того, что будет 10 бракованных изделий:
[
P(X = 10) = C(10, 10) \cdot (0.2)^{10} \cdot (0.8)^{0} = 1 \cdot (0.2)^{10} = 1 \cdot 0.0000001024 = 0.0000001024
]
Теперь сравниваем (P(X=1)) и (P(X=10)):
- (P(X=1) \approx 0.268)
- (P(X=10) \approx 0.0000001024)
Таким образом, вероятность того, что в партии имеется одно бракованное изделие, значительно выше, поэтому более вероятно, что имеется одно бракованное изделие.
Задача 3
В данной задаче мы имеем урну с 2 белыми и 3 черными шарами, из которой мы будем вытаскивать шары 5 раз с возвращением. Мы ищем вероятность того, что черный шар будет вытащен 3 раза.
Так как мы работаем с испытаниями с возвращением, каждый раз вероятность вытаскивания черного шара составляет ( \frac{3}{5} ), а белого — ( \frac{2}{5} ).
Используем ту же формулу для биномиального распределения, где:
- (n = 5),
- (k = 3),
- (p = \frac{3}{5}).
Сначала найдем биномиальный коэффициент:
[
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
]
Теперь подставляем в формулу вероятности:
[
P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2}
]
[
= 10 \cdot \left(\frac{27}{125}\right) \cdot \left(\frac{4}{25}\right) = 10 \cdot \frac{108}{3125} = \frac{1080}{3125}
]
Это приближенно равно 0.3456.
Таким образом, вероятность того, что черный шар будет вытащен три раза — приблизительно 0.3456.
Задача 4
В этой задаче стрелок производит 4 независимых выстрела с вероятностью попадания 0.7. Мы хотим найти вероятность того, что будет не менее двух попаданий.
В данном случае мы можем найти вероятность двух и более попаданий, вычислив дополнение к вероятности 0 или 1 попадания.
Находим вероятность 0 попаданий:
[
P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.7)^0 \cdot (0.3)^4 = 1 \cdot 1 \cdot (0.3)^4 = 0.0081
]
Находим вероятность 1 попадания:
[
P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.7)^1 \cdot (0.3)^3 = 4 \cdot 0.7 \cdot (0.3)^3 = 4 \cdot 0.7 \cdot 0.027 = 0.0756
]
Теперь складываем вероятности 0 и 1 попадания:
[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.0081 + 0.0756 = 0.0837
]
Теперь подсчитаем вероятность не менее двух попаданий:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.0837 = 0.9163
]
Таким образом, вероятность того, что произойдет не менее двух попаданий, составляет 0.9163.
Если есть дополнительные вопросы по решению или необходима помощь с другими задачами, пожалуйста, дайте знать!
