ЗАДАЧА № 1. В четырех попытках разыгрываются некоторые предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке известна и равна 0,5. Какова вероятность выигрыша ровно трех предметов?…

Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку и разберем их с подробными объяснениями.

Задача 1

В задаче говорится, что вероятность выигрыша в каждой попытке равна 0,5. Нам нужно найти вероятность выигрыша ровно трех предметов из четырех попыток.

Эта задача решается с помощью биномиального распределения. Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \(n\) — общее количество испытаний (в нашем случае 4),
• \(k\) — количество успешных испытаний (в данном случае 3),
• \(p\) — вероятность успеха в каждом испытании (0,5),
• \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Теперь подставим значения в формулу.

1. Сначала найдем биномиальный коэффициент: \[ C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1!} = \frac{4}{1} = 4 \]

2. Теперь подставляем в формулу вероятности: \[ P(X = 3) = 4 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{4-3} \] \[ P(X = 3) = 4 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^1 = 4 \cdot (0.5)^4 = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

Таким образом, вероятность выигрыша ровно трех предметов равна 0.25.

Задача 2

Нам нужно понять, что вероятнее: одно или десять бракованных изделий в партии из десяти изделий, если вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,2.

Эта задача также решается с помощью биномиального распределения. В данном случае:

• \(n = 10\),
• \(p = 0.2\).

Сравним вероятности для \(k=1\) и \(k=10\).

1. Вероятность того, что будет 1 бракованное изделие: \[ P(X = 1) = C(10, 1) \cdot (0.2)^1 \cdot (0.8)^9 \] \[ C(10, 1) = 10 \] Подставляем: \[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.2 \cdot (0.8)^9 \] \[ P(X = 1) = 10 \cdot 0.2 \cdot 0.134217728 \approx 0.268435456 \]

2. Вероятность того, что будет 10 бракованных изделий: \[ P(X = 10) = C(10, 10) \cdot (0.2)^{10} \cdot (0.8)^{0} = 1 \cdot (0.2)^{10} = 1 \cdot 0.0000001024 = 0.0000001024 \]

Теперь сравниваем \(P(X=1)\) и \(P(X=10)\):

• \(P(X=1) \approx 0.268\)
• \(P(X=10) \approx 0.0000001024\)

Таким образом, вероятность того, что в партии имеется одно бракованное изделие, значительно выше, поэтому более вероятно, что имеется одно бракованное изделие.

Задача 3

В данной задаче мы имеем урну с 2 белыми и 3 черными шарами, из которой мы будем вытаскивать шары 5 раз с возвращением. Мы ищем вероятность того, что черный шар будет вытащен 3 раза.

Так как мы работаем с испытаниями с возвращением, каждый раз вероятность вытаскивания черного шара составляет \( \frac{3}{5} \), а белого — \( \frac{2}{5} \).

Используем ту же формулу для биномиального распределения, где:

• \(n = 5\),
• \(k = 3\),
• \(p = \frac{3}{5}\).

1. Сначала найдем биномиальный коэффициент: \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

2. Теперь подставляем в формулу вероятности: \[ P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{2} \] \[ = 10 \cdot \left(\frac{27}{125}\right) \cdot \left(\frac{4}{25}\right) = 10 \cdot \frac{108}{3125} = \frac{1080}{3125} \] Это приближенно равно 0.3456.

Таким образом, вероятность того, что черный шар будет вытащен три раза — приблизительно 0.3456.

Задача 4

В этой задаче стрелок производит 4 независимых выстрела с вероятностью попадания 0.7. Мы хотим найти вероятность того, что будет не менее двух попаданий.

В данном случае мы можем найти вероятность двух и более попаданий, вычислив дополнение к вероятности 0 или 1 попадания.

1. Находим вероятность 0 попаданий: \[ P(X = 0) = C(4, 0) \cdot (0.7)^0 \cdot (0.3)^4 = 1 \cdot 1 \cdot (0.3)^4 = 0.0081 \]

2. Находим вероятность 1 попадания: \[ P(X = 1) = C(4, 1) \cdot (0.7)^1 \cdot (0.3)^3 = 4 \cdot 0.7 \cdot (0.3)^3 = 4 \cdot 0.7 \cdot 0.027 = 0.0756 \]

Теперь складываем вероятности 0 и 1 попадания: \[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.0081 + 0.0756 = 0.0837 \]

Теперь подсчитаем вероятность не менее двух попаданий: \[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0.0837 = 0.9163 \]

Таким образом, вероятность того, что произойдет не менее двух попаданий, составляет 0.9163.

Если есть дополнительные вопросы по решению или необходима помощь с другими задачами, пожалуйста, дайте знать!