Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Обозначим количество деталей, которое второй рабочий делает за час, как \( x \). Тогда первый рабочий делает \( x + 5 \) деталей в час. Пусть время, которое второй рабочий тратит на выполнение заказа, равно \( t \) часов. Тогда его скорость выполнения заказа можно выразить уравнением: \[ x \cdot t = 180 \] Следовательно, время, которое первый рабочий тратит на выполнение заказа, будет \( t - 3 \) часа, и его производительность можно выразить как: \[ (x + 5)(t - 3) = 180 \] Теперь у нас есть система уравнений: 1. \( x \cdot t = 180 \) 2. \( (x + 5)(t - 3) = 180 \) Решим первое уравнение для \( t \): \[ t = \frac{180}{x} \] Подставим это значение во второе уравнение: \[ (x + 5) \left(\frac{180}{x} - 3\right) = 180 \] Упростим это уравнение: \[ (x + 5) \left(\frac{180 - 3x}{x}\right) = 180 \] Умножим обе стороны на \( x \): \[ (x + 5)(180 - 3x) = 180x \] Раскроем скобки: \[ 180x - 3x^2 + 900 - 15x = 180x \] Сократим \( 180x \) с обеих сторон: \[ -3x^2 + 900 - 15x = 0 \] Упорядочим уравнение: \[ 3x^2 + 15x - 900 = 0 \] Теперь разделим все на 3: \[ x^2 + 5x - 300 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 \] Теперь найдём корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{2} \] \[ \sqrt{1225} = 35 \] \[ x = \frac{-5 \pm 35}{2} \] Таким образом, получаем два корня: 1. \( x = \frac{30}{2} = 15 \) (положительное значение) 2. \( x = \frac{-40}{2} = -20 \) (отрицательное значение, не подходит) Теперь подставим \( x = 15 \) в выражение для производительности первого рабочего: \[ x + 5 = 15 + 5 = 20 \] Таким образом, первый рабочий делает **20 деталей в час**.