Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ.…

Обозначим количество деталей, которое второй рабочий делает за час, как \( x \). Тогда первый рабочий делает \( x + 5 \) деталей в час.

Пусть время, которое второй рабочий тратит на выполнение заказа, равно \( t \) часов. Тогда его скорость выполнения заказа можно выразить уравнением:

\[ x \cdot t = 180 \]

Следовательно, время, которое первый рабочий тратит на выполнение заказа, будет \( t - 3 \) часа, и его производительность можно выразить как:

\[ (x + 5)(t - 3) = 180 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( x \cdot t = 180 \)
2. \( (x + 5)(t - 3) = 180 \)

Решим первое уравнение для \( t \):

\[ t = \frac{180}{x} \]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[ (x + 5) \left(\frac{180}{x} - 3\right) = 180 \]

Упростим это уравнение:

\[ (x + 5) \left(\frac{180 - 3x}{x}\right) = 180 \]

Умножим обе стороны на \( x \):

\[ (x + 5)(180 - 3x) = 180x \]

Раскроем скобки:

\[ 180x - 3x^2 + 900 - 15x = 180x \]

Сократим \( 180x \) с обеих сторон:

\[ -3x^2 + 900 - 15x = 0 \]

Упорядочим уравнение:

\[ 3x^2 + 15x - 900 = 0 \]

Теперь разделим все на 3:

\[ x^2 + 5x - 300 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225 \]

Теперь найдём корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{2} \] \[ \sqrt{1225} = 35 \] \[ x = \frac{-5 \pm 35}{2} \]

Таким образом, получаем два корня:

1. \( x = \frac{30}{2} = 15 \) (положительное значение)
2. \( x = \frac{-40}{2} = -20 \) (отрицательное значение, не подходит)

Теперь подставим \( x = 15 \) в выражение для производительности первого рабочего:

\[ x + 5 = 15 + 5 = 20 \]

Таким образом, первый рабочий делает 20 деталей в час.