Решите логарифмические уравнения и неравенства: log 2 (x^ 2 -3x)=2

Давайте решим уравнение \( \log_2 (x^2 - 3x) = 2 \) пошагово. ### Шаг 1: Преобразование логарифмического уравнения Уравнение \( \log_2 (x^2 - 3x) = 2 \) означает, что \( x^2 - 3x \) равно \( 2^2 \): \[ x^2 - 3x = 2^2 \] ### Шаг 2: Упростим уравнение Теперь подставим значение \( 2^2 \): \[ x^2 - 3x = 4 \] ### Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону уравнения Для удобства приведем уравнение к стандартной форме: \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \] ### Шаг 4: Решение квадратного уравнения Теперь мы можем решить полученное квадратное уравнение \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -4 \). Подставляем эти значения в формулу: 1. Вычислим дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] 2. Теперь найдем корни: \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Это приводит к двум возможным значениям для \( x \): - \( x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) - \( x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) ### Шаг 5: Проверка допустимости корней Теперь нужно проверить, подходят ли найденные значения для подлогарифмического выражения \( x^2 - 3x \). Логарифм определён только для положительных значений: 1. Для \( x_1 = 4 \): \[ x^2 - 3x = 4^2 - 3 \cdot 4 = 16 - 12 = 4 \quad (\text{положительно, подходит}) \] 2. Для \( x_2 = -1 \): \[ x^2 - 3x = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4 \quad (\text{положительно, подходит}) \] ### Шаг 6: Заключение Оба значения \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -1 \) допустимы, поэтому решение уравнения: \[ x = 4 \quad \text{и} \quad x = -1 \] Таким образом, у нас есть два решения: \( x = 4 \) и \( x = -1 \).