Решите логарифмические уравнения и неравенства: log 2 (x^ 2 -3x)=2
Давайте решим уравнение \( \log_2 (x^2 - 3x) = 2 \) пошагово.
Шаг 1: Преобразование логарифмического уравнения
Уравнение \( \log_2 (x^2 - 3x) = 2 \) означает, что \( x^2 - 3x \) равно \( 2^2 \):
\[ x^2 - 3x = 2^2 \]
Шаг 2: Упростим уравнение
Теперь подставим значение \( 2^2 \):
\[ x^2 - 3x = 4 \]
Шаг 3: Переносим все члены на одну сторону уравнения
Для удобства приведем уравнение к стандартной форме:
\[ x^2 - 3x - 4 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь мы можем решить полученное квадратное уравнение \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -4 \). Подставляем эти значения в формулу:
- Вычислим дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]
- Теперь найдем корни:
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2} \]
Это приводит к двум возможным значениям для \( x \):
- \( x_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( x_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Шаг 5: Проверка допустимости корней
Теперь нужно проверить, подходят ли найденные значения для подлогарифмического выражения \( x^2 - 3x \). Логарифм определён только для положительных значений:
- Для \( x_1 = 4 \):
\[ x^2 - 3x = 4^2 - 3 \cdot 4 = 16 - 12 = 4 \quad (\text{положительно, подходит}) \]
- Для \( x_2 = -1 \):
\[ x^2 - 3x = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4 \quad (\text{положительно, подходит}) \]
Шаг 6: Заключение
Оба значения \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -1 \) допустимы, поэтому решение уравнения:
\[ x = 4 \quad \text{и} \quad x = -1 \]
Таким образом, у нас есть два решения: \( x = 4 \) и \( x = -1 \).
