Чтобы решить неравенство ((3x + 8) < (2x + 7)^2), следуем пошагово:
Шаг 1: Раскроем квадрат
Сначала раскроем квадрат на правой стороне неравенства:
[
(2x + 7)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 7 + 7^2 = 4x^2 + 28x + 49
]
Теперь подставим это обратно в неравенство:
[
3x + 8 < 4x^2 + 28x + 49
]
Шаг 2: Приведем все термины к одной стороне
Переносим все слагаемые в одну сторону, чтобы получить нулевое неравенство:
[
0 < 4x^2 + 28x + 49 - 3x - 8
]
Упрощаем выражение:
[
0 < 4x^2 + (28x - 3x) + (49 - 8)
]
[
0 < 4x^2 + 25x + 41
]
Теперь неравенство имеет вид:
[
4x^2 + 25x + 41 > 0
]
Шаг 3: Анализируем квадратное выражение
Мы можем заметить, что это квадратное уравнение имеет положительные коэффициенты при всех членах:
- (4 > 0)
- (25 > 0)
- (41 > 0)
Квадратное уравнение (4x^2 + 25x + 41) открыто вверх. Чтобы проверить, существует ли у него хотя бы одна точка пересечения с осью (x), найдем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 4 \cdot 41
]
[
D = 625 - 656 = -31
]
Шаг 4: Делаем вывод
Так как дискриминант отрицателен ((D < 0)), квадратное уравнение (4x^2 + 25x + 41) не имеет действительных корней и всегда положительно (в силу того, что оно открыто вверх).
Поэтому:
[
4x^2 + 25x + 41 > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}
]
Итог
Неравенство ((3x + 8) < (2x + 7)^2) выполняется для всех (x).
Ответ: Все (x \in \mathbb{R}).
