Решите неравенство (3x+8) <(2x+7)²

Чтобы решить неравенство \((3x + 8) < (2x + 7)^2\), следуем пошагово:

Шаг 1: Раскроем квадрат

Сначала раскроем квадрат на правой стороне неравенства:

\[ (2x + 7)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 7 + 7^2 = 4x^2 + 28x + 49 \]

Теперь подставим это обратно в неравенство:

\[ 3x + 8 < 4x^2 + 28x + 49 \]

Шаг 2: Приведем все термины к одной стороне

Переносим все слагаемые в одну сторону, чтобы получить нулевое неравенство:

\[ 0 < 4x^2 + 28x + 49 - 3x - 8 \]

Упрощаем выражение:

\[ 0 < 4x^2 + (28x - 3x) + (49 - 8) \] \[ 0 < 4x^2 + 25x + 41 \]

Теперь неравенство имеет вид:

\[ 4x^2 + 25x + 41 > 0 \]

Шаг 3: Анализируем квадратное выражение

Мы можем заметить, что это квадратное уравнение имеет положительные коэффициенты при всех членах:

• \(4 > 0\)
• \(25 > 0\)
• \(41 > 0\)

Квадратное уравнение \(4x^2 + 25x + 41\) открыто вверх. Чтобы проверить, существует ли у него хотя бы одна точка пересечения с осью \(x\), найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 25^2 - 4 \cdot 4 \cdot 41 \] \[ D = 625 - 656 = -31 \]

Шаг 4: Делаем вывод

Так как дискриминант отрицателен (\(D < 0\)), квадратное уравнение \(4x^2 + 25x + 41\) не имеет действительных корней и всегда положительно (в силу того, что оно открыто вверх).

Поэтому:

\[ 4x^2 + 25x + 41 > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R} \]

Итог

Неравенство \((3x + 8) < (2x + 7)^2\) выполняется для всех \(x\).

Ответ: Все \(x \in \mathbb{R}\).