Для решения задачи воспользуемся свойствами треугольников и формулами, связанными с высотами и площадью.
Обозначим вершины треугольника как (A), (B) и (C), где высота из вершины (A) опускается на основание (BC).
Согласно условию, основание (BC) разбивается на два отрезка (BD = 6) и (DC = 8), где (D) — основание высоты из точки (A). Таким образом, длина всего основания:
[
BC = BD + DC = 6 + 8 = 14.
]
Площадь треугольника можно выразить через высоту (h_a) из вершины (A) и основание (BC):
[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot h_a = 7h_a.
]
Теперь найдем другую высоту (h_b). С точки (D), высота (h_b) делит её в отношении (1:3), значит:
[
\frac{h_a}{h_b} = \frac{3}{1} \Rightarrow h_a = 3h_b.
]
Таким образом, можем выразить площадь через высоту (h_b):
[
S = \frac{1}{2} \cdot h_b \cdot 14.
]
Приравняем два выражения для площади (S):
[
7h_a = 7(3h_b) = 21h_b,
]
[
S = 7h_a = 7(3h_b) \implies 21h_b = 7h_b \cdot 14 \implies 21h_b = 7h_b \cdot 14 \implies \frac{21h_b}{7h_b} = 14.
]
Теперь упростим наше уравнение:
[
21h_b = 14h_b \implies h_b = \frac{21}{14} = 1.5 \Longrightarrow h_a = 3 \cdot 1.5 = 4.5.
]
Таким образом, длина высоты треугольника (h_a) равна:
[
\boxed{4.5}.
]
