Найдите область определения функции y=1/√4x+5-x^2

Для нахождения области определения функции \( y = \frac{1}{\sqrt{4x + 5 - x^2}} \) нам нужно учесть несколько условий, чтобы выражение было определено. 1. **Посмотрим на квадратный корень.** Внутри корня \( \sqrt{4x + 5 - x^2} \) должно быть неотрицательное число, поскольку корень из отрицательного числа не определен в области действительных чисел. Поэтому мы должны решить неравенство: \[ 4x + 5 - x^2 \geq 0. \] 2. **Перепишем неравенство.** Упорядочим его, чтобы упростить решение: \[ -x^2 + 4x + 5 \geq 0. \] Это неравенство можно привести к стандартному виду, умножив его на -1 (не забудем изменить знак неравенства): \[ x^2 - 4x - 5 \leq 0. \] 3. **Решим квадратное уравнение \( x^2 - 4x - 5 = 0 \)**. Используем формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): \[ a = 1, \quad b = -4, \quad c = -5. \] Подставляем значения: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36. \] Теперь находим корни: \[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5, \] \[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 6}{2} = -1. \] 4. **Определим знак многочлена.** Мы нашли корни уравнения \( x = -1 \) и \( x = 5 \). Теперь изучим знак многочлена \( x^2 - 4x - 5 \) на интервалах: - \( (-\infty, -1) \) - \( (-1, 5) \) - \( (5, +\infty) \) Проверим знак на каждом из интервалов: - Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ (-2)^2 - 4(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0 \] - Для \( -1 < x < 5 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 - 4(0) - 5 = -5 < 0 \] - Для \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \[ 6^2 - 4(6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0 \] Таким образом, многочлен \( x^2 - 4x - 5 \leq 0 \) выполняется на интервале \( [-1, 5] \). 5. **Проверка границ.** Теперь нам нужно проверить, что происходит в точках \( x = -1 \) и \( x = 5 \): - При \( x = -1 \): \[ 4(-1) + 5 - (-1)^2 = -4 + 5 - 1 = 0, \] \(\sqrt{0} = 0\), но \( y \) в этой точке не определено. - При \( x = 5 \): \[ 4(5) + 5 - (5)^2 = 20 + 5 - 25 = 0, \] также \(\sqrt{0} = 0\), и \( y \) в этой точке не определено. Таким образом, область определения функции \( y = \frac{1}{\sqrt{4x + 5 - x^2}} \) будет: \[ \text{Область определения: } (-1, 5). \] Итак, мы нашли, что область определения функции — это интервал от -1 до 5, не включая сами границы.