Давайте решим задачу, указанную вами, шаг за шагом.
Дано:
- Два ненулевых вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют равные длины: $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
- Модуль разности этих векторов равен длине каждого из них: $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}|$.
Нужно найти: угол $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
Шаг 1: Используем формулу для модуля разности векторов
По определению, для двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ модуль их разности можно выразить как:
[
|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)}
]
Так как $|\vec{a}| = |\vec{b}|$, обозначим длину каждого из векторов как $L$. Тогда у нас получится:
[
|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{L^2 + L^2 - 2L \cdot L \cdot \cos(\theta)}
]
Упростим это выражение:
[
|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2L^2 - 2L^2 \cos(\theta)} = \sqrt{2L^2(1 - \cos(\theta))} = L\sqrt{2(1 - \cos(\theta))}
]
Шаг 2: Подставим известные значения
Согласно условию задачи, $|\vec{a} - \vec{b}| = L$. Теперь подставляем это значение в уравнение:
[
L = L\sqrt{2(1 - \cos(\theta))}
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Если мы поделим обе стороны на $L$ (при условии, что $L \neq 0$), то у нас получится:
[
1 = \sqrt{2(1 - \cos(\theta))}
]
Шаг 4: Возведем обе стороны в квадрат
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
[
1^2 = 2(1 - \cos(\theta))
]
То есть:
[
1 = 2 - 2\cos(\theta)
]
Преобразуем уравнение:
[
2\cos(\theta) = 2 - 1
]
[
2\cos(\theta) = 1
]
[
\cos(\theta) = \frac{1}{2}
]
Шаг 5: Найдем угол $\theta$
Теперь найдем угол $\theta$. $\cos(\theta) = \frac{1}{2}$ соответствует углу:
[
\theta = 60^\circ
]
Ответ
Таким образом, угол между данными векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 60 градусов.
