Два ненулевые вектора имеют равные длины, а модуль разности этих векторов равен длине каждого из них. Найдите угол между данными векторами

Давайте решим задачу, указанную вами, шаг за шагом.

Дано:

• Два ненулевых вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) имеют равные длины: \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\).
• Модуль разности этих векторов равен длине каждого из них: \(|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}|\).

Нужно найти: угол \(\theta\) между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Шаг 1: Используем формулу для модуля разности векторов

По определению, для двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) модуль их разности можно выразить как: \[ |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta)} \] Так как \(|\vec{a}| = |\vec{b}|\), обозначим длину каждого из векторов как \(L\). Тогда у нас получится: \[ |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{L^2 + L^2 - 2L \cdot L \cdot \cos(\theta)} \] Упростим это выражение: \[ |\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2L^2 - 2L^2 \cos(\theta)} = \sqrt{2L^2(1 - \cos(\theta))} = L\sqrt{2(1 - \cos(\theta))} \]

Шаг 2: Подставим известные значения

Согласно условию задачи, \(|\vec{a} - \vec{b}| = L\). Теперь подставляем это значение в уравнение: \[ L = L\sqrt{2(1 - \cos(\theta))} \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Если мы поделим обе стороны на \(L\) (при условии, что \(L \neq 0\)), то у нас получится: \[ 1 = \sqrt{2(1 - \cos(\theta))} \]

Шаг 4: Возведем обе стороны в квадрат

Теперь возведем обе стороны в квадрат: \[ 1^2 = 2(1 - \cos(\theta)) \] То есть: \[ 1 = 2 - 2\cos(\theta) \] Преобразуем уравнение: \[ 2\cos(\theta) = 2 - 1 \] \[ 2\cos(\theta) = 1 \] \[ \cos(\theta) = \frac{1}{2} \]

Шаг 5: Найдем угол \(\theta\)

Теперь найдем угол \(\theta\). \(\cos(\theta) = \frac{1}{2}\) соответствует углу: \[ \theta = 60^\circ \]

Ответ

Таким образом, угол между данными векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 60 градусов.