3.1.4. Площади двух подобных треугольников равны 50 и 32, сумма их периметров равна 117. Найдите периметр каждого треугольника. 8 класс

Для решения задачи о двух подобных треугольниках будем использовать свойства подобных фигур. В частности, площади подобных фигур пропорциональны квадратам их соответствующих линейных размеров, а периметры пропорциональны этим размерам.

Дано:

• Площадь первого треугольника \( S_1 = 50 \)
• Площадь второго треугольника \( S_2 = 32 \)
• Сумма периметров треугольников равна \( P_1 + P_2 = 117 \)

Обозначим:

• Периметр первого треугольника — \( P_1 \)
• Периметр второго треугольника — \( P_2 \)

1. Вычисление отношения площадей и периметров: Поскольку треугольники подобны, отношение их площадей выражается через квадраты отношений линейных размеров (например, сторон): \[ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 \] Подставим известные значения: \[ \frac{50}{32} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 \] Упростим: \[ \frac{25}{16} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 \] Тогда, извлекая корень: \[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{4} \]

2. Отношение периметров: Поскольку периметры также пропорциональны линейным размерам: \[ \frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{4} \] Обозначим \( P_1 = 5k \) и \( P_2 = 4k \) для некоторого \( k \).

3. Сумма периметров: Теперь подставим \( P_1 \) и \( P_2 \) в уравнение суммы: \[ P_1 + P_2 = 5k + 4k = 9k = 117 \] Разделим на 9: \[ k = \frac{117}{9} = 13 \]

4. Нахождение периметров: Теперь можем найти периметры: \[ P_1 = 5k = 5 \cdot 13 = 65 \] \[ P_2 = 4k = 4 \cdot 13 = 52 \]

5. Ответ: Периметр первого треугольника равен 65, а периметр второго — 52.

Итак, ответ:

• Периметр первого треугольника \( P_1 = 65 \)
• Периметр второго треугольника \( P_2 = 52 \)