Давайте разберемся с заданием шаг за шагом.
У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым углом. Длины сторон следующие:
- AC = 3 (это одна из катетов)
- BC = 4 (это другой катет)
- AB – гипотенуза, которую мы можем найти при помощи теоремы Пифагора.
Шаг 1: Найдем длину гипотенузы AB
Согласно теореме Пифагора:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения:
[
AB^2 = 3^2 + 4^2
]
Посчитаем:
[
AB^2 = 9 + 16 = 25
]
[
AB = \sqrt{25} = 5
]
Шаг 2: Найти сумму векторов
Теперь у нас есть все необходимые данные:
- Длина вектора ( \overrightarrow{AB} = 5 )
- Длина вектора ( \overrightarrow{BC} = 4 )
Теперь найдем длину вектора ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} ).
Шаг 3: Определение направления векторов
Предположим, что:
- Вектор ( \overrightarrow{AB} ) направлен от точки A к точке B.
- Вектор ( \overrightarrow{BC} ) направлен от точки B к точке C.
Поскольку треугольник ABC является прямоугольным, то векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{BC} ) расположены перпендикулярно друг другу. Таким образом, находим длину результирующего вектора ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} ) тоже с помощью теоремы Пифагора.
Шаг 4: Длина результирующего вектора
Итак, у нас теперь есть два вектора (длина AB и длина BC), которые образуют прямоугольный треугольник. Используем теорему Пифагора:
[
|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2
]
Подставляем значения:
[
|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|^2 = 5^2 + 4^2
]
[
|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|^2 = 25 + 16 = 41
]
Теперь находим длину вектора:
[
|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}| = \sqrt{41}
]
Ответ:
Таким образом, длина вектора ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} ) равна ( \sqrt{41} ).
