В треугольнике A B C ABC угол C C прямой, A C = 3 , AC=3, B C = 4. BC=4. Найдите длину вектора A B → + B C → . AB

Давайте разберемся с заданием шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C является прямым углом. Длины сторон следующие:

• AC = 3 (это одна из катетов)
• BC = 4 (это другой катет)
• AB – гипотенуза, которую мы можем найти при помощи теоремы Пифагора.

Шаг 1: Найдем длину гипотенузы AB

Согласно теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения: \[ AB^2 = 3^2 + 4^2 \]

Посчитаем: \[ AB^2 = 9 + 16 = 25 \] \[ AB = \sqrt{25} = 5 \]

Шаг 2: Найти сумму векторов

Теперь у нас есть все необходимые данные:

• Длина вектора \( \overrightarrow{AB} = 5 \)
• Длина вектора \( \overrightarrow{BC} = 4 \)

Теперь найдем длину вектора \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \).

Шаг 3: Определение направления векторов

Предположим, что:

• Вектор \( \overrightarrow{AB} \) направлен от точки A к точке B.
• Вектор \( \overrightarrow{BC} \) направлен от точки B к точке C.

Поскольку треугольник ABC является прямоугольным, то векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \) расположены перпендикулярно друг другу. Таким образом, находим длину результирующего вектора \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \) тоже с помощью теоремы Пифагора.

Шаг 4: Длина результирующего вектора

Итак, у нас теперь есть два вектора (длина AB и длина BC), которые образуют прямоугольный треугольник. Используем теорему Пифагора: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 \] Подставляем значения: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|^2 = 5^2 + 4^2 \] \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}|^2 = 25 + 16 = 41 \] Теперь находим длину вектора: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}| = \sqrt{41} \]

Ответ:

Таким образом, длина вектора \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \) равна \( \sqrt{41} \).