В математическом кружке девочек больше 40 %, но меньше 50 % от всех участников кружка. Какое наименьшее число участников кружка может быть при этих условиях?
Решение задачи
Для начала давайте обозначим общее количество участников кружка за \( n \). По условиям задачи мы знаем, что процентное соотношение девочек в кружке больше 40 %, но меньше 50 %. Это можно записать следующим образом:
\[ 0.4n < \text{число девочек} < 0.5n \]
Шаг 1: Определим количество девочек
Обозначим число девочек за \( g \). Таким образом, мы можем переписать неравенства так:
\[ 0.4n < g < 0.5n \]
Шаг 2: Перепишем неравенства
Разделим каждого из неравенств на \( n \) (мы предполагаем, что \( n > 0 \)):
Из первого неравенства получаем: \[ g > 0.4n \]
Из второго неравенства получаем: \[ g < 0.5n \]
Это означает, что \( g \) может принимать значения от \( 0.4n \) до \( 0.5n \).
Шаг 3: Найдем наименьшее целое число
Чтобы \( g \) было целым числом, разница между верхней и нижней границами \( 0.5n - 0.4n = 0.1n \) также должна быть достаточной для существования целых значений:
\[ 0.1n \text{ — это интервал, в котором мы ищем целые числа.} \]
Для того чтобы интервал содержал хотя бы одно целое число, необходимо, чтобы:
\[ 0.1n \geq 1 \]
Это означает, что:
\[ n \geq 10 \]
Теперь подставляем \( n = 10 \) и смотрим, какие значения может принимать \( g \):
- \( 0.4 \times 10 = 4 \)
- \( 0.5 \times 10 = 5 \)
Таким образом, возможные значения \( g \) находятся в интервале:
\[ 4 < g < 5 \]
Здесь единственное целое значение, которое подходит, — это \( g = 5 \). Однако оно не подходит, так как мы увидели, что 5 — это не строгое значение.
Шаг 4: Подберем следующее значение \( n \)
Теперь проверим следующее целое значение \( n = 11 \):
- \( 0.4 \times 11 = 4.4 \)
- \( 0.5 \times 11 = 5.5 \)
Здесь \( g \) может принимать \( 5 \) (целое число), и оно попадает в границы, так как:
\[ 4.4 < 5 < 5.5 \]
Шаг 5: Проверим следующее значение \( n = 12 \)
Для \( n = 12 \):
- \( 0.4 \times 12 = 4.8 \)
- \( 0.5 \times 12 = 6.0 \)
Здесь \( g \) может принимать \( 5 \) (тоже подходит) и \( 6 \).
Вывод
Мы видим, что наименьшее значение \( n \), при котором удовлетворяются условия задачи, — это 11. Таким образом, наименьшее количество участников математического кружка, таких что процент девочек больше 40 % и меньше 50 %, составляет:
\[ \boxed{11} \]
