Чтобы вычислить площадь прямоугольной трапеции, в данной задаче, давайте сначала разберем все данные:
Из условия нам известно, что один из острых углов трапеции равен 45°. Это значит, что прямоугольная трапеция состоит из прямоугольника и треугольника.
Высота, проведенная из тупого угла, делит трапецию на квадрат и треугольник.
Площадь квадрата равна 64 см². Отсюда можно найти сторону квадрата:
[
a^2 = 64 \implies a = \sqrt{64} = 8 \text{ см}.
]
Поскольку это квадрат, каждая его сторона равна 8 см.
Теперь представим, как выглядит трапеция. Поскольку угол в 45° в острых углах и мы проводим высоту из тупого угла, она будет пересекаться с основанием трапеции, формируя треугольник в нижней части.
- В прямоугольной трапеции, где острые углы равны 45°, можно сказать, что базовые стороны (основания) и высота имеют определенные соотношения. Высота трапеции будет равна высоте квадрата, то есть 8 см.
Теперь вычислим площадь трапеции. Площадь трапеции можно вычислить по формуле:
[
S_{\text{трапеции}} = \frac{(a + b) \cdot h}{2},
]
где ( a ) и ( b ) — это длины оснований, а ( h ) — высота.
- Поскольку высота равна 8 см, теперь попробуем определить величины оснований.
С учетом, что острие угла в 45° указывает на то, что основание, начиная от квадрата, также будет равно по величине, так как биссектрисы, проведенные из этой высоты, создают равные треугольные вершины.
Если одно основание равно 8 см, также считается, что длина второго основания должна составить еще 8 см, то:
[
a = 8 \text{ см (длина нижнего основания)},
]
[
b = 8 + 8 = 16 \text{ см (длина верхнего основания)}.
]
Теперь подставим эти значения в формулу площади трапеции:
[
S_{\text{трапеции}} = \frac{(8 + 16) \cdot 8}{2} = \frac{24 \cdot 8}{2} = \frac{192}{2} = 96 \text{ см}^2.
]
Таким образом, площадь трапеции составляет 96 см².
