Чтобы решить задачу, в которой нужно найти сторону ( AB ) в треугольнике ( ABC ) с заданными параметрами (угол ( C = 60^\circ ), сторона ( AC = 5 ) и ( BC = 3 )), мы можем использовать теорему косинусов.
Шаг 1: Запишем формулу теоремы косинусов
Теорема косинусов гласит, что для любого треугольника со сторонами ( a ), ( b ), и ( c ) и углом ( C ) между сторонами ( a ) и ( b ) верна следующая формула:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
Где:
- ( c ) — сторона, противоположная углу ( C ) (в нашем случае это ( AB )),
- ( a ) и ( b ) — другие стороны (в нашем случае это ( AC ) и ( BC )),
- ( C = 60^\circ ).
Шаг 2: Подставим известные значения в формулу
Обозначим:
- ( AC = b = 5 )
- ( BC = a = 3 )
- ( AB = c )
Теперь подставим данные в формулу:
[
c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ)
]
Зная, что ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ), мы можем упростить выражение:
[
c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}
]
Шаг 3: Выполним вычисления
Теперь проведем все вычисления:
[
c^2 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}
]
[
c^2 = 25 + 9 - 15
]
[
c^2 = 34 - 15
]
[
c^2 = 19
]
Шаг 4: Найдем сторону ( c )
Теперь найдем длину стороны ( c ) (то есть ( AB )), взяв квадратный корень:
[
c = \sqrt{19} \approx 4.36
]
Ответ
Длина стороны ( AB ) равна ( \sqrt{19} ) или примерно ( 4.36 ) единиц.
