решите
Давайте рассмотрим задачи по шагам.
Задача 1: Найдите сумму и произведение корней уравнений
Уравнение: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
По теореме Виета для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \), а произведение \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).
- Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5 \)
- Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{1} = 6 \)
Уравнение: \( x^2 - 12x + 36 = 0 \)
- Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{-12}{1} = 12 \)
- Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{36}{1} = 36 \)
Уравнение: \( 2y^2 - 2y - 4 = 0 \)
Упростим уравнение, разделив на 2:
\( y^2 - y - 2 = 0 \)
- Сумма корней: \( y_1 + y_2 = -\frac{-1}{1} = 1 \)
- Произведение корней: \( y_1 \cdot y_2 = \frac{-2}{1} = -2 \)
Уравнение: \( x^2 + 18x + 81 = 0 \)
- Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{18}{1} = -18 \)
- Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{81}{1} = 81 \)
Задача 2: Запишите квадратное уравнение, корни которого равны
Выберите один из вариантов:
а) \( 3 и 4 \)
Квадратное уравнение по теореме Виета будет:
\[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]
где сумма корней \( 3 + 4 = 7 \), а произведение \( 3 \cdot 4 = 12 \).
Задача 3: Найдите подобные корни уравнения
Уравнение: \( x^2 - 6x - 8 = 0 \)
Сначала найдём дискриминант:
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} \]
Уравнение: \( x^2 + 6x - 9 = 0 \)
Дискриминант:
\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{72}}{2} \]
Уравнение: \( x^2 - 15x + 36 = 0 \)
Дискриминант:
\[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 225 - 144 = 81 \]
Корни:
\[ x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{2} \]
Уравнение: \( x^2 + 10y - 39 = 0 \)
Дискриминант:
\[ D = 10y^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 100 - 156 = -56 \]
Корни будут комплексные. Либо что-то допущено в постановке задачи.
Эти пошаговые решения должны помочь в понимании процесса решения квадратных уравнений.
