Чтобы найти нормаль к векторам ( \mathbf{a} = (2, 0, -1) ) и ( \mathbf{b} = (1, -\sqrt{3}, 0) ), можно воспользоваться операцией векторного произведения. Нормаль будет равна векторному произведению этих двух векторов.
Векторное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) можно вычислить по формуле:
[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & 0 & -1 \
1 & -\sqrt{3} & 0
\end{vmatrix}
]
Раскроем определитель:
[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \begin{vmatrix}
0 & -1 \
-\sqrt{3} & 0
\end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix}
2 & -1 \
1 & 0
\end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix}
2 & 0 \
1 & -\sqrt{3}
\end{vmatrix}
]
Теперь вычислим каждый из определителей:
Для первой компоненты:
[
\begin{vmatrix}
0 & -1 \
-\sqrt{3} & 0
\end{vmatrix} = 0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}
]
Для второй компоненты:
[
\begin{vmatrix}
2 & -1 \
1 & 0
\end{vmatrix} = 2 \cdot 0 - (-1) \cdot 1 = 1
]
Для третьей компоненты:
[
\begin{vmatrix}
2 & 0 \
1 & -\sqrt{3}
\end{vmatrix} = 2 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 1 = -2\sqrt{3}
]
Теперь подставим найденные значения в формулу:
[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\sqrt{3} \mathbf{i} - 1 \mathbf{j} - 2\sqrt{3} \mathbf{k}
]
Таким образом, вектор нормали будет равен:
[
\mathbf{n} = (-\sqrt{3}, -1, -2\sqrt{3}).
]
Это и есть нормаль к данным векторам.
