.

Чтобы решить квадратное уравнение \(4x^2 + x - 33 = 0\), можно воспользоваться формулой для решения квадратных уравнений:

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}}{2a} \]

Где \(a\), \(b\), и \(c\) — коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В нашем случае:

• \(a = 4\)
• \(b = 1\)
• \(c = -33\)

Теперь найдем дискриминант \(D\), который равен \(b^2 - 4ac\):

\[ D = 1^2 - 4 \times 4 \times (-33) \]

\[ D = 1 + 528 = 529 \]

Теперь подставим значения в формулу нахождения корней:

\[ x_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-1 + \sqrt{529}}}{2 \times 4} \]

\[ \sqrt{529} = 23 \]

\[ x_1 = \frac{{-1 + 23}}{8} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4} \]

Следующий корень:

\[ x_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-1 - 23}}{2 \times 4} \]

\[ x_2 = \frac{{-24}}{8} = -3 \]

Решение уравнения:

• \(x_1 = \frac{11}{4}\)
• \(x_2 = -3\)

Таким образом, корни квадратного уравнения \(4x^2 + x - 33 = 0\) — это \(x = \frac{11}{4}\) и \(x = -3\).