реши задания с фото

Давайте разберем задания по порядку.

Задача 1

Найти координаты и длину вектора:

1. \( \vec{a} = \frac{1}{2} \cdot \vec{c} - \vec{b} \), где \(\vec{a} = (3;2)\), \(\vec{c} = (-6;2)\)

Для нахождения координат вектора \(\vec{x} = k\vec{u} + \vec{v}\), нужно умножить координаты \(\vec{u}\) на число \(k\) и сложить с координатами \(\vec{v}\).

• \(\vec{c} = (-6; 2)\), умножим на \(\frac{1}{2}\):
  \[ \frac{1}{2} \cdot \vec{c} = \left(\frac{1}{2} \cdot -6, \frac{1}{2} \cdot 2\right) = (-3, 1) \]

• Теперь нужно из получившихся координат вычесть \(\vec{b} = (3; 2)\): \[ \vec{a} = (-3, 1) - (3, 2) = (-3 - 3, 1 - 2) = (-6, -1) \]

Координаты \(\vec{a}\): \((-6, -1)\).

Длина вектора \(\vec{a}\):

\[ |\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + (-1)^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \]

Задача 2

Пусть \(C(-3;1)\), \(D(9;6)\). Найти:

а) Координаты вектора \(\overrightarrow{CD}\):

\[ \overrightarrow{CD} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (9 - (-3), 6 - 1) = (12, 5) \]

б) Длину вектора \(\overrightarrow{CD}\):

\[ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(12)^2 + (5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \]

в) Координаты середины отрезка \(CD\):

\[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{-3 + 9}{2}, \frac{1 + 6}{2}\right) = (3, 3.5) \]

Задача 3

Проверить, является ли четырехугольник \(ABCD\) прямоугольником:

Даны точки: \(A(-6;1)\), \(B(0;5)\), \(C(-6;4)\), \(D(0;9)\).

Проверим, перпендикулярны ли стороны:

1. Вектор \(\overrightarrow{AB} = (0 - (-6), 5 - 1) = (6, 4)\)
2. Вектор \(\overrightarrow{BC} = (-6 - 0, 4 - 5) = (-6, -1)\)
3. Вектор \(\overrightarrow{CD} = (0 - (-6), 9 - 4) = (6, 5)\)
4. Вектор \(\overrightarrow{DA} = (-6 - 0, 1 - 9) = (-6, -8)\)

Определяем, перпендикулярны ли \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

Проверяем скалярное произведение \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\):

\[ 6 \cdot (-6) + 4 \cdot (-1) = -36 - 4 = -40 \quad (\text{не равно } 0) \]

Они не перпендикулярны, значит, необходимо проверить другие стороны. Однако так как это выполнение стандартного критерия прямоугольника через вектора не показало выполнения условия, искомый четырехугольник не является прямоугольником.