В алюминиевый стакан наливают кипяток так, что стакан становится полным. Стакан имеет цилиндрическую форму, его высота 14 см, радиус основания 3 см, толщина стенок 4 мм.…

Для того чтобы рассчитать, какая температура установится в алюминиевом стакане, нам нужно применить принцип теплового равновесия. В данном случае, мы будем учитывать массу и теплоемкость алюминия и воды.

Данные задачи

1. Размеры стакана:

   • Высота (h) = 14 см = 0,14 м
   • Радиус (r) = 3 см = 0,03 м
   • Толщина (d) = 4 мм = 0,004 м

   Так как толщина стакана в миллиметрах, переведем всё в метры.

2. Формулы: Чтобы найти объем оболочки (алюминия) и объем жидкости (воды), использование следующих формул:

   • Объем цилиндра: \( V = \pi r^2 h \)

3. Температуры:

   • Начальная температура алюминиевого стакана (T1) = 20 °C
   • Температура кипятка (T2) = 100 °C

4. Коэффициенты:

   • Удельная теплоёмкость алюминия (с_Al) = 900 Дж/(кг·°C)
   • Удельная теплоёмкость воды (с_H2O) = 4200 Дж/(кг·°C)
   • Плотность алюминия (ρ_Al) = 2700 кг/м³
   • Плотность воды (ρ_H2O) = 1000 кг/м³

Шаг 1: Вычисление объемов

Объем алюминиевого стакана (оболочки)

• Объем внешнего цилиндра (внешний радиус r1): \( r_1 = r + d = 0,03\, \text{м} + 0,004\, \text{м} = 0,034\, \text{м} \)

• Объем внешнего цилиндра: \[ V_{\text{внеш}} = \pi r_1^2 h = \pi (0,034)^2 \cdot 0,14 \approx 0,000162\, \text{м}^3 \]

• Объем внутреннего цилиндра: \[ V_{\text{внутр}} = \pi r^2 h = \pi (0,03)^2 \cdot 0,14 \approx 0,000132\, \text{м}^3 \]

• Объем алюминия (V_Al): \[ V_{\text{Al}} = V_{\text{внеш}} - V_{\text{внутр}} = 0,000162 - 0,000132 = 0,00003\, \text{м}^3 \]

Объем воды (V_H2O)

Объем воды — это внутренний объем стакана: \[ V_{\text{H2O}} = V_{\text{внутр}} \approx 0,000132\, \text{м}^3 \]

Шаг 2: Вычисление масс

Масса алюминия (m_Al):

\[ m_{\text{Al}} = V_{\text{Al}} \cdot \rho_{\text{Al}} = 0,00003 \cdot 2700 \approx 0,081\, \text{кг} \]

Масса воды (m_H2O):

\[ m_{\text{H2O}} = V_{\text{H2O}} \cdot \rho_{\text{H2O}} = 0,000132 \cdot 1000 \approx 0,132\, \text{кг} \]

Шаг 3: Применение закона сохранения энергии

Теплота, переданная воде, равна теплота, потерянная алюминием: \[ m_{\text{H2O}} \cdot c_{\text{H2O}} \cdot (T_f - T_2) + m_{\text{Al}} \cdot c_{\text{Al}} \cdot (T_f - T_1) = 0 \]

Где:

• \( T_f \) — конечная температура
• \( T_1 = 20\, °C \) — начальная температура алюминия
• \( T_2 = 100\, °C \) — температура кипятка

Подставим значения: \[ 0,132 \cdot 4200 \cdot (T_f - 100) + 0,081 \cdot 900 \cdot (T_f - 20) = 0 \]

Шаг 4: Решение уравнения

\[ 554.4(T_f - 100) + 72.9(T_f - 20) = 0 \]

Раскроем скобки: \[ 554.4T_f - 55440 + 72.9T_f - 1458 = 0 \] \[ (554.4 + 72.9)T_f - 56898 = 0 \] \[ 627.3T_f = 56898 \] \[ T_f \approx \frac{56898}{627.3} \approx 90.8\, °C \]

Ответ

Таким образом, установится температура стакана примерно 90.8 °C.