В алюминиевый стакан наливают кипяток так, что стакан становится полным. Стакан имеет цилиндрическую форму, его высота 14 см, радиус основания 3 см, толщина стенок 4 мм. Вычислите, какая установится температура стакана, если изначально его температура была 20 °С. Удельная теплоёмкость алюминия , воды . Плотность алюминия , воды . Потерями теплоты пренебречь.
Для того чтобы рассчитать, какая температура установится в алюминиевом стакане, нам нужно применить принцип теплового равновесия. В данном случае, мы будем учитывать массу и теплоемкость алюминия и воды.
### Данные задачи
1. **Размеры стакана:**
- Высота (h) = 14 см = 0,14 м
- Радиус (r) = 3 см = 0,03 м
- Толщина (d) = 4 мм = 0,004 м
Так как толщина стакана в миллиметрах, переведем всё в метры.
2. **Формулы:**
Чтобы найти объем оболочки (алюминия) и объем жидкости (воды), использование следующих формул:
- Объем цилиндра: \( V = \pi r^2 h \)
3. **Температуры:**
- Начальная температура алюминиевого стакана (T1) = 20 °C
- Температура кипятка (T2) = 100 °C
4. **Коэффициенты:**
- Удельная теплоёмкость алюминия (с_Al) = 900 Дж/(кг·°C)
- Удельная теплоёмкость воды (с_H2O) = 4200 Дж/(кг·°C)
- Плотность алюминия (ρ_Al) = 2700 кг/м³
- Плотность воды (ρ_H2O) = 1000 кг/м³
### Шаг 1: Вычисление объемов
#### Объем алюминиевого стакана (оболочки)
- Объем внешнего цилиндра (внешний радиус r1):
\( r_1 = r + d = 0,03\, \text{м} + 0,004\, \text{м} = 0,034\, \text{м} \)
- Объем внешнего цилиндра:
\[
V_{\text{внеш}} = \pi r_1^2 h = \pi (0,034)^2 \cdot 0,14 \approx 0,000162\, \text{м}^3
\]
- Объем внутреннего цилиндра:
\[
V_{\text{внутр}} = \pi r^2 h = \pi (0,03)^2 \cdot 0,14 \approx 0,000132\, \text{м}^3
\]
- Объем алюминия (V_Al):
\[
V_{\text{Al}} = V_{\text{внеш}} - V_{\text{внутр}} = 0,000162 - 0,000132 = 0,00003\, \text{м}^3
\]
#### Объем воды (V_H2O)
Объем воды — это внутренний объем стакана:
\[
V_{\text{H2O}} = V_{\text{внутр}} \approx 0,000132\, \text{м}^3
\]
### Шаг 2: Вычисление масс
#### Масса алюминия (m_Al):
\[
m_{\text{Al}} = V_{\text{Al}} \cdot \rho_{\text{Al}} = 0,00003 \cdot 2700 \approx 0,081\, \text{кг}
\]
#### Масса воды (m_H2O):
\[
m_{\text{H2O}} = V_{\text{H2O}} \cdot \rho_{\text{H2O}} = 0,000132 \cdot 1000 \approx 0,132\, \text{кг}
\]
### Шаг 3: Применение закона сохранения энергии
Теплота, переданная воде, равна теплота, потерянная алюминием:
\[
m_{\text{H2O}} \cdot c_{\text{H2O}} \cdot (T_f - T_2) + m_{\text{Al}} \cdot c_{\text{Al}} \cdot (T_f - T_1) = 0
\]
Где:
- \( T_f \) — конечная температура
- \( T_1 = 20\, °C \) — начальная температура алюминия
- \( T_2 = 100\, °C \) — температура кипятка
Подставим значения:
\[
0,132 \cdot 4200 \cdot (T_f - 100) + 0,081 \cdot 900 \cdot (T_f - 20) = 0
\]
### Шаг 4: Решение уравнения
\[
554.4(T_f - 100) + 72.9(T_f - 20) = 0
\]
Раскроем скобки:
\[
554.4T_f - 55440 + 72.9T_f - 1458 = 0
\]
\[
(554.4 + 72.9)T_f - 56898 = 0
\]
\[
627.3T_f = 56898
\]
\[
T_f \approx \frac{56898}{627.3} \approx 90.8\, °C
\]
### Ответ
Таким образом, установится температура стакана примерно **90.8 °C**.
