Чтобы найти значение ( \sin \angle M ) в треугольнике ( \triangle MNK ) с известным значением косинуса острого угла ( \angle M ), мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью:
[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1,
]
где ( \theta ) — это угол, в данном случае ( \angle M ).
Дано, что ( \cos \angle M = \frac{3}{5} ).
- Выражаем ( \sin^2 \angle M ):
Сначала подставим значение косинуса в формулу:
[
\sin^2 \angle M + \left( \frac{3}{5} \right)^2 = 1.
]
Посчитаем ( \left( \frac{3}{5} \right)^2 ):
[
\left( \frac{3}{5} \right)^2 = \frac{9}{25}.
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
\sin^2 \angle M + \frac{9}{25} = 1.
]
- Вычисляем ( \sin^2 \angle M ):
Вычтем ( \frac{9}{25} ) из обеих сторон:
[
\sin^2 \angle M = 1 - \frac{9}{25}.
]
Чтобы вычесть, преобразуем ( 1 ) в дробь с одинаковым знаменателем:
[
1 = \frac{25}{25}.
]
Теперь у нас есть:
[
\sin^2 \angle M = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.
]
- Находим ( \sin \angle M ):
Теперь, чтобы найти ( \sin \angle M ), необходимо взять квадратный корень из ( \sin^2 \angle M ):
[
\sin \angle M = \sqrt{\frac{16}{25}}.
]
Так как угол ( M ) острый, мы берем положительное значение:
[
\sin \angle M = \frac{4}{5}.
]
Таким образом, значение ( \sin \angle M ) равно ( \frac{4}{5} ).
Ответ: ( \sin \angle M = \frac{4}{5} ).
