Чтобы решить задачу, нужно узнать, каков путь, пройденный телом за 3 секунды, если его скорость ( V ) выражается формулой:
[
V = 4t + 9t^2
]
где ( V ) — скорость в метрах в секунду, ( t ) — время в секундах.
1. Понимание задачи
Сначала нужно найти путь, пройденный телом за 3 секунды. Для этого мы можем использовать определение скорости. Путь ( S ) можно найти как интеграл от скорости:
[
S = \int V , dt
]
2. Подстановка значения скорости
Теперь подставим формулу скорости в уравнение:
[
S = \int (4t + 9t^2) , dt
]
3. Интегрирование
Проведем интегрирование по переменной ( t ):
[
S = \int (4t) , dt + \int (9t^2) , dt
]
Выполним интеграцию по частям:
[
\int 4t , dt = 2t^2 + C_1
]
[
\int 9t^2 , dt = 3t^3 + C_2
]
Объединим результаты:
[
S(t) = 2t^2 + 3t^3 + C
]
4. Определение постоянной интегрирования
Так как тело начинает движение с нулевого положения, при ( t = 0 ):
[
S(0) = 0 \Rightarrow C = 0
]
Таким образом, окончательная формула для пути:
[
S(t) = 2t^2 + 3t^3
]
5. Вычисление пути за 3 секунды
Теперь подставим ( t = 3 ) секунды в полученную формулу:
[
S(3) = 2(3)^2 + 3(3)^3
]
Теперь вычислим:
[
S(3) = 2 \cdot 9 + 3 \cdot 27
]
[
S(3) = 18 + 81
]
[
S(3) = 99 \text{ м}
]
Ответ
Таким образом, путь, пройденный телом за 3 секунды, составляет 99 метров.
