Реши квадратное уравнение через дискриминант: 2x²-7x+8=0

Чтобы решить квадратное уравнение \(2x^2 - 7x + 8 = 0\) через дискриминант, давайте пройдемся по всем шагам.

Шаг 1: Определим коэффициенты

В квадратном уравнении \(ax^2 + bx + c = 0\) коэффициенты:

• \(a = 2\)
• \(b = -7\)
• \(c = 8\)

Шаг 2: Найдем дискриминант

Формула для дискриминанта \(D\) выглядит так: \[ D = b^2 - 4ac \]

Подставим наши значения в формулу: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 \] \[ D = 49 - 64 \] \[ D = -15 \]

Шаг 3: Анализ дискриминанта

• Если дискриминант \(D > 0\), то у уравнения два различных действительных корня.
• Если дискриминант \(D = 0\), то у уравнения один корень (дублет).
• Если дискриминант \(D < 0\), то у уравнения нет действительных корней, а значит, все корни комплексные.

В нашем случае \(D = -15 < 0\), значит у уравнения \(2x^2 - 7x + 8 = 0\) нет действительных корней.

Шаг 4: Запишем корни в комплексной форме

Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения можно найти с использованием комплексных чисел. Формула для нахождения корней при отрицательном дискриминанте выглядит так: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения: \[ x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{-15}}{2 \cdot 2} \] \[ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{15}i}{4} \]

Ответ

Таким образом, решение уравнения \(2x^2 - 7x + 8 = 0\) в комплексных числах: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{15}i}{4}, \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{15}i}{4} \]

Эти корни указывают на то, что уравнение имеет два комплексных корня, которые выражаются через мнимую единицу \(i\).