Чтобы решить квадратное уравнение (2x^2 - 7x + 8 = 0) через дискриминант, давайте пройдемся по всем шагам.
Шаг 1: Определим коэффициенты
В квадратном уравнении (ax^2 + bx + c = 0) коэффициенты:
Шаг 2: Найдем дискриминант
Формула для дискриминанта (D) выглядит так:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставим наши значения в формулу:
[
D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8
]
[
D = 49 - 64
]
[
D = -15
]
Шаг 3: Анализ дискриминанта
- Если дискриминант (D > 0), то у уравнения два различных действительных корня.
- Если дискриминант (D = 0), то у уравнения один корень (дублет).
- Если дискриминант (D < 0), то у уравнения нет действительных корней, а значит, все корни комплексные.
В нашем случае (D = -15 < 0), значит у уравнения (2x^2 - 7x + 8 = 0) нет действительных корней.
Шаг 4: Запишем корни в комплексной форме
Так как дискриминант отрицательный, корни уравнения можно найти с использованием комплексных чисел. Формула для нахождения корней при отрицательном дискриминанте выглядит так:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{-15}}{2 \cdot 2}
]
[
x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{15}i}{4}
]
Ответ
Таким образом, решение уравнения (2x^2 - 7x + 8 = 0) в комплексных числах:
[
x_1 = \frac{7 + \sqrt{15}i}{4}, \quad x_2 = \frac{7 - \sqrt{15}i}{4}
]
Эти корни указывают на то, что уравнение имеет два комплексных корня, которые выражаются через мнимую единицу (i).
