Сумма квадратов сторон прямоугольника равна 45 см^2 а его периметр равен 18 см. Найдите стороны прямоугольника

Чтобы найти стороны прямоугольника, используем данные условия в виде математических уравнений. Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).

Дано:

1. Сумма квадратов сторон равна \( a^2 + b^2 = 45 \).
2. Периметр прямоугольника равен \( 2(a + b) = 18 \).

Шаг 1: Найдем сумму сторон

Из второго условия: \[ 2(a + b) = 18 \] Разделим оба sides на 2: \[ a + b = 9 \]

Шаг 2: Выразим одну из сторон через другую

Теперь можно выразить одну сторону через другую. Например, выразим \( b \): \[ b = 9 - a \]

Шаг 3: Подставим выражение в первое уравнение

Теперь подставим \( b \) в первое уравнение: \[ a^2 + b^2 = 45 \] С подстановкой: \[ a^2 + (9 - a)^2 = 45 \]

Шаг 4: Раскроем скобки и упростим

Раскроем скобки: \[ a^2 + (9 - a)(9 - a) = a^2 + (81 - 18a + a^2) = 45 \] Теперь объединим подобные: \[ 2a^2 - 18a + 81 = 45 \] Упростим: \[ 2a^2 - 18a + 36 = 0 \] Разделим уравнение на 2: \[ a^2 - 9a + 18 = 0 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -9 \), \( c = 18 \): \[ a = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2} \] \[ = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ = \frac{9 \pm 3}{2} \]

Шаг 6: Найдем два значения

Решения:

1. \( a = \frac{12}{2} = 6 \)
2. \( a = \frac{6}{2} = 3 \)

Таким образом, стороны могут быть: \[ a = 6, \quad b = 3 \] или наоборот: \[ a = 3, \quad b = 6 \]

Ответ

Стороны прямоугольника равны 6 см и 3 см.