Чтобы найти стороны прямоугольника, используем данные условия в виде математических уравнений. Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ).
Дано:
- Сумма квадратов сторон равна ( a^2 + b^2 = 45 ).
- Периметр прямоугольника равен ( 2(a + b) = 18 ).
Шаг 1: Найдем сумму сторон
Из второго условия:
[
2(a + b) = 18
]
Разделим оба sides на 2:
[
a + b = 9
]
Шаг 2: Выразим одну из сторон через другую
Теперь можно выразить одну сторону через другую. Например, выразим ( b ):
[
b = 9 - a
]
Шаг 3: Подставим выражение в первое уравнение
Теперь подставим ( b ) в первое уравнение:
[
a^2 + b^2 = 45
]
С подстановкой:
[
a^2 + (9 - a)^2 = 45
]
Шаг 4: Раскроем скобки и упростим
Раскроем скобки:
[
a^2 + (9 - a)(9 - a) = a^2 + (81 - 18a + a^2) = 45
]
Теперь объединим подобные:
[
2a^2 - 18a + 81 = 45
]
Упростим:
[
2a^2 - 18a + 36 = 0
]
Разделим уравнение на 2:
[
a^2 - 9a + 18 = 0
]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем случае ( a = 1 ), ( b = -9 ), ( c = 18 ):
[
a = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}
]
[
= \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2}
]
[
= \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2}
]
[
= \frac{9 \pm 3}{2}
]
Шаг 6: Найдем два значения
Решения:
- ( a = \frac{12}{2} = 6 )
- ( a = \frac{6}{2} = 3 )
Таким образом, стороны могут быть:
[
a = 6, \quad b = 3
]
или наоборот:
[
a = 3, \quad b = 6
]
Ответ
Стороны прямоугольника равны 6 см и 3 см.
