Решить задачи, и предоставить решения
Для решения каждой из данных задач нам нужно понять, что представляют собой вероятности выпадения орла при броске симметричной монеты.
Основные понятия:
- Вероятность выпадения орла в одном броске симметричной монеты всегда составляет \( p = 0.5 \).
- Вероятность выпадения решки тоже составляет \( p = 0.5 \).
- Мы будем использовать формулу биномиального распределения, которая помогает рассчитать вероятность получения \( k \) успехов (в данном случае, выпадения орла) в \( n \) независимых испытаниях:
\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \]
где \( C_n^k \) — биномиальный коэффициент, равный числу способов выбора \( k \) элементов из \( n \), и рассчитывается как:
\[ C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
Теперь решим каждую из задач:
Задача 1: №24
Условия: Монету бросают трижды, нужно найти вероятность, что орел выпадет ровно 3 раза.
- \( n = 3 \), \( k = 3 \), \( p = 0.5 \)
\[ P(X = 3) = C_3^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{3-3} = 1 \cdot (0.5)^3 \cdot 1 = 0.125 \]
Задача 2: №25
Условия: Монету бросают трижды, нужно найти вероятность, что орел выпадет ровно 1 раз.
- \( n = 3 \), \( k = 1 \), \( p = 0.5 \)
\[ P(X = 1) = C_3^1 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{3-1} = 3 \cdot 0.5 \cdot (0.5)^2 = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.25 = 0.375 \]
Задача 3: №26
Условия: Монету бросают дважды, нужно найти вероятность, что орел выпадет ровно 2 раза.
- \( n = 2 \), \( k = 2 \), \( p = 0.5 \)
\[ P(X = 2) = C_2^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{2-2} = 1 \cdot (0.5)^2 \cdot 1 = 0.25 \]
Задача 4: №27
Условия: Монету бросают четыре раза, нужно найти вероятность, что орел выпадет ровно 3 раза.
- \( n = 4 \), \( k = 3 \), \( p = 0.5 \)
\[ P(X = 3) = C_4^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{4-3} = 4 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^1 = 4 \cdot 0.125 \cdot 0.5 = 0.25 \]
Задача 5: №28
Условия: Монету бросают четырежды, нужно найти вероятность, что орел выпадет ровно 2 раза.
- \( n = 4 \), \( k = 2 \), \( p = 0.5 \)
\[ P(X = 2) = C_4^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{4-2} = 6 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^2 = 6 \cdot 0.25 \cdot 0.25 = 0.375 \]
Таким образом, мы нашли вероятности для каждой задачи.
