Доказать тождество: 1) x²-3x+4=0 2) 7x³-28x=0 3) 81x³+36x²+4x=0 4) 3x³-6x²-75x+150=0

Чтобы доказать каждое тождество в виде уравнения, необходимо решить их и увидеть, есть ли у них действительные корни. Мы будем решать каждое уравнение отдельно и подробно объяснять, как мы это делаем.

1) \( x^2 - 3x + 4 = 0 \)

Для решения квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = 4 \).

1. Найдем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \]

Поскольку дискриминант меньше нуля (\( D < 0 \)), это уравнение не имеет действительных корней, а значит, не тождественно нулю.

2) \( 7x^3 - 28x = 0 \)

Это уравнение можно упростить, вынеся общий множитель: \[ 7x(x^2 - 4) = 0 \]

Теперь у нас есть два множителя. Мы можем решить их по отдельности:

1. \( 7x = 0 \)

   • \( x = 0 \)

2. \( x^2 - 4 = 0 \)

   • \( x^2 = 4 \)
   • \( x = 2 \) или \( x = -2 \)

Таким образом, уравнение имеет три корня: \( x = 0, 2, -2 \). Следовательно, оно тождественно нулю при этих значениях.

3) \( 81x^3 + 36x^2 + 4x = 0 \)

В этом уравнении также можно вынести общий множитель: \[ x(81x^2 + 36x + 4) = 0 \]

Опять же, у нас есть два множителя. Решим их:

1. \( x = 0 \)

2. Для решения \( 81x^2 + 36x + 4 = 0 \) используем дискриминант: \[ D = 36^2 - 4 \cdot 81 \cdot 4 = 1296 - 1296 = 0 \]

Поскольку дискриминант равен нулю, это уравнение имеет один двойной корень: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-36}{2 \cdot 81} = \frac{-36}{162} = \frac{-2}{9} \]

Таким образом, уравнение имеет корни: \( x = 0 \) и \( x = -\frac{2}{9} \). Оно тождественно нулю при этих значениях.

4) \( 3x^3 - 6x^2 - 75x + 150 = 0 \)

Для начала можно попытаться вынести общий множитель: \[ 3(x^3 - 2x^2 - 25x + 50) = 0 \] Теперь решим уравнение \( x^3 - 2x^2 - 25x + 50 = 0 \).

Для нахождения корней можно использовать метод подбора или теорему Виета для нахождения возможных рациональных корней. Проверим, например, \( x = 5 \): \[ 5^3 - 2(5^2) - 25(5) + 50 = 125 - 50 - 125 + 50 = 0 \] Это значит, что \( x = 5 \) является корнем. Теперь можно разделить многочлен на \( x - 5 \) с помощью деления многочленов.

В результате такого деления мы получим квадратное уравнение, которое можно решить, как в первом пункте. После деления получим: \[ x^2 + 3x - 10 = 0 \] Вычисляем дискриминант: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \] Решаем: \[ x = \frac{-3 \pm 7}{2} \implies x_1 = 2, x_2 = -5 \]

Таким образом, получаем, что корнями уравнения являются \( x = 5, 2, -5 \). Оно тождественно нулю при этих значениях.

Заключение

• Уравнение 1) не имеет действительных корней.
• Уравнение 2) имеет корни \( x = 0, 2, -2 \).
• Уравнение 3) имеет корни \( x = 0 \) и \( x = -\frac{2}{9} \).
• Уравнение 4) имеет корни \( x = 5, 2, -5 \).

Если нас интересуют корни уравнений и их тождества, то уравнения 2), 3) и 4) являются тождествами нуля для указанных значений \( x \).