Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии :а)3;6;…; б)5;-2,5;…; в)4;4 в квадрате;…; г)корень 3; 3;…;

Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, нужно сначала определить два основных параметра: первый член прогрессии и знаменатель прогрессии. Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии выглядит так: \[ S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}, \quad r \neq 1 \] где: - \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов, - \( a_1 \) — первый член, - \( r \) — знаменатель прогрессии, - \( n \) — количество членов. Теперь рассмотрим каждый из случаев. ### а) 3; 6; … 1. **Первый член (a1)**: \( 3 \) 2. **Знаменатель (r)**: \( \frac{6}{3} = 2 \) 3. **Количество членов (n)**: \( 6 \) Теперь подставим данные в формулу суммы: \[ S_6 = 3 \cdot \frac{1 - 2^6}{1 - 2} \] Посчитаем: \[ 2^6 = 64 \] \[ S_6 = 3 \cdot \frac{1 - 64}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{-63}{-1} = 3 \cdot 63 = 189 \] **Сумма первых шести членов: 189** ### б) 5; -2.5; … 1. **Первый член (a1)**: \( 5 \) 2. **Знаменатель (r)**: \( \frac{-2.5}{5} = -0.5 \) 3. **Количество членов (n)**: \( 6 \) Теперь подставим данные в формулу суммы: \[ S_6 = 5 \cdot \frac{1 - (-0.5)^6}{1 - (-0.5)} \] Посчитаем: \[ (-0.5)^6 = 0.015625 \] \[ S_6 = 5 \cdot \frac{1 - 0.015625}{1 + 0.5} = 5 \cdot \frac{0.984375}{1.5} \] \[ S_6 = 5 \cdot 0.65625 = 3.28125 \] **Сумма первых шести членов: 3.28125** ### в) 4; 4 в квадрате; … 1. **Первый член (a1)**: \( 4 \) 2. **Знаменатель (r)**: \( \frac{4^2}{4} = 4 \) 3. **Количество членов (n)**: \( 6 \) Теперь подставим данные в формулу суммы: \[ S_6 = 4 \cdot \frac{1 - 4^6}{1 - 4} \] Посчитаем: \[ 4^6 = 4096 \] \[ S_6 = 4 \cdot \frac{1 - 4096}{1 - 4} = 4 \cdot \frac{-4095}{-3} = 4 \cdot 1365 = 5460 \] **Сумма первых шести членов: 5460** ### г) корень 3; 3; … 1. **Первый член (a1)**: \( \sqrt{3} \) 2. **Знаменатель (r)**: \( \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \) 3. **Количество членов (n)**: \( 6 \) Теперь подставим данные в формулу суммы: \[ S_6 = \sqrt{3} \cdot \frac{1 - (\sqrt{3})^6}{1 - \sqrt{3}} \] Посчитаем: \[ (\sqrt{3})^6 = 27 \] \[ S_6 = \sqrt{3} \cdot \frac{1 - 27}{1 - \sqrt{3}} = \sqrt{3} \cdot \frac{-26}{1 - \sqrt{3}} \] Для удобства можно умножить числитель и знаменатель на \(1 + \sqrt{3}\) (сопряжённое): \[ S_6 = \sqrt{3} \cdot \frac{-26(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \sqrt{3} \cdot \frac{-26(1 + \sqrt{3})}{1 - 3} = \sqrt{3} \cdot \frac{-26(1 + \sqrt{3})}{-2} \] \[ S_6 = \sqrt{3} \cdot 13(1 + \sqrt{3}) = 13\sqrt{3} + 39 \] **Сумма первых шести членов: \( 13\sqrt{3} + 39 \)** Таким образом, мы нашли суммы первых шести членов для каждой геометрической прогрессии.