Представьте квадратный трехчлен 15х2 + 16х + 4 в виде произведения двух линейных множителей. 15x2 + 16x + 4 =

Чтобы представить квадратный трехчлен \( 15x^2 + 16x + 4 \) в виде произведения двух линейных множителей, будем следовать пошаговому процессу.

Шаг 1: Определим коэффициенты

Для трехчлена общей формы \( ax^2 + bx + c \):

• \( a = 15 \)
• \( b = 16 \)
• \( c = 4 \)

Шаг 2: Найдем дискриминант

Формула для дискриминанта \( D \) квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) выглядит так: \[ D = b^2 - 4ac \]

Подставляем наши значения: \[ D = 16^2 - 4 \cdot 15 \cdot 4 \] \[ D = 256 - 240 \] \[ D = 16 \]

Шаг 3: Найдем корни уравнения

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем известные значения: \[ x_{1,2} = \frac{-16 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 15} \] \[ x_{1,2} = \frac{-16 \pm 4}{30} \]

Теперь найдем корни:

1. Первый корень: \[ x_1 = \frac{-16 + 4}{30} = \frac{-12}{30} = \frac{-2}{5} \]

2. Второй корень: \[ x_2 = \frac{-16 - 4}{30} = \frac{-20}{30} = \frac{-2}{3} \]

Шаг 4: Запишем квадратный трехчлен в виде произведения

Квадратный трехчлен \( ax^2 + bx + c \) можно записать в виде: \[ a(x - x_1)(x - x_2) \]

Подставим значения: \[ 15\left(x - \left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x - \left(-\frac{2}{3}\right)\right) \] Упрощаем скобки: \[ 15\left(x + \frac{2}{5}\right)\left(x + \frac{2}{3}\right) \]

Шаг 5: Приведем к более удобному виду

Для удобства можно умножить внутренние скобки на \( 15 \): \[ 15\left(\frac{5}{5}x + \frac{2}{5}\right)\left(\frac{3}{3}x + \frac{2}{3}\right) \] Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на 15 (можно оставить множитель перед скобками): \[ 15 \left(\frac{3}{3}x + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{3}\right)\left(\frac{5}{5}x + \frac{2}{5}\cdot \frac{5}{5}\right) \]

Однако, для краткости, оставим в предыдущем виде, и представим результат:

Финальный ответ

Квадратный трехчлен \( 15x^2 + 16x + 4 \) можно представить как произведение: \[ 15\left(x + \frac{2}{5}\right)\left(x + \frac{2}{3}\right) \]

Или не используя дроби, финальная запись трёхчлена будет: \[ 15\left(3x + 2\right)\left(5x + 2\right) \]

Это и есть форма произведения линейных множителей для данного квадратного трехчлена.