решите систему неравенств

Чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно, а затем найти пересечение решений. Давайте разберем это шаг за шагом.

Неравенство 1:

\[ 13x^2 - 65x - 78 < 0 \]

1. Решим квадратное уравнение \(13x^2 - 65x - 78 = 0\) для нахождения корней.
2. Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-65)^2 - 4 \times 13 \times (-78) \] \[ D = 4225 + 4056 = 8281 \]
3. Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{65 \pm \sqrt{8281}}{26} \] Корни: \[ \sqrt{8281} = 91 \] \[ x_1 = \frac{65 + 91}{26} = 6 \] \[ x_2 = \frac{65 - 91}{26} = -1 \]
4. Решение неравенства: Между корнями парабола отрицательна, поэтому решение: \[ -1 < x < 6 \]

Неравенство 2:

\[ 8x + 120x - 432 \leq 0 \]

1. Упростим выражение: \[ 128x - 432 \leq 0 \]
2. Переносим 432: \[ 128x \leq 432 \]
3. Разделим на 128: \[ x \leq \frac{432}{128} = \frac{27}{8} \]

Пересечение множеств

• Решение первого неравенства: \(-1 < x < 6\)
• Решение второго неравенства: \(x \leq \frac{27}{8}\)

Пересечение:

• \(-1 < x \leq \frac{27}{8}\)

Ответ

Интервал решения системы неравенств: \((-1, \frac{27}{8}]\)