найдите наименьшее значение функции y 2х2 5х лнх-3 на отрезке[5/6;7/6]

Давайте разберем вашу задачу пошагово.

Дана функция:

\[ y = 2x^2 + 5x - 3 \]

Задача:

Найти наименьшее значение функции на отрезке \([ \frac{5}{6}; \frac{7}{6} ]\).

Шаг 1: Находим производную функции

Для нахождения наименьшего (или наибольшего) значения функции, сначала найдем её производную, так как экстремумы функции находятся в точках, где производная равна нулю.

Производная функции \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 + 5x - 3) = 4x + 5 \]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \[ 4x + 5 = 0 \] \[ 4x = -5 \] \[ x = -\frac{5}{4} \]

Шаг 3: Проверяем критическую точку

Критическая точка \( x = -\frac{5}{4} \) не находится на заданном отрезке \([ \frac{5}{6}; \frac{7}{6} ]\). Таким образом, мы не будем её рассматривать.

Шаг 4: Вычисление значений функции на концах отрезка

Теперь мы должны проверить значения функции на концах отрезка:

1. \( x = \frac{5}{6} \) \[ y\left( \frac{5}{6} \right) = 2\left(\frac{5}{6}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{6}\right) - 3 \] \[ = 2 \cdot \frac{25}{36} + \frac{25}{6} - 3 \] \[ = \frac{50}{36} + \frac{150}{36} - \frac{108}{36} \] \[ = \frac{50 + 150 - 108}{36} = \frac{92}{36} = \frac{23}{9} \]

2. \( x = \frac{7}{6} \) \[ y\left( \frac{7}{6} \right) = 2\left(\frac{7}{6}\right)^2 + 5\left(\frac{7}{6}\right) - 3 \] \[ = 2 \cdot \frac{49}{36} + \frac{35}{6} - 3 \] \[ = \frac{98}{36} + \frac{210}{36} - \frac{108}{36} \] \[ = \frac{98 + 210 - 108}{36} = \frac{200}{36} = \frac{100}{18} = \frac{50}{9} \]

Шаг 5: Сравнение значений

• \( y\left( \frac{5}{6} \right) = \frac{23}{9} \)
• \( y\left( \frac{7}{6} \right) = \frac{50}{9} \)

Наименьшее значение функции на отрезке \([ \frac{5}{6}; \frac{7}{6} ]\) — это: \[ \frac{23}{9} \]

Ответ:

Наименьшее значение функции на заданном отрезке равно \(\frac{23}{9}\).