II в. f(x) = 9x + 3x^2 - x^3 на отрезке [- 2: 2].
Давай разберем функцию \( f(x) = 9x + 3x^2 - x^3 \) на отрезке \([-2, 2]\). Нам нужно понять, как ведет себя эта функция на заданном отрезке, и мы можем сделать это, выполнив следующие шаги:
Шаг 1: Нахождение критических точек
Сначала найдем производную функции \( f(x) \), чтобы определить критические точки, где функция может достигать максимумов и минимумов.
Найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(9x + 3x^2 - x^3) \] Используя правило дифференцирования, получаем: \[ f'(x) = 9 + 6x - 3x^2 \]
Установим производную равной нулю для нахождения критических точек: \[ 9 + 6x - 3x^2 = 0 \]
Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ -3x^2 + 6x + 9 = 0 \] Умножим на \(-1\): \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 36 + 108 = 144 \]
Находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 12}{6} = \{3, -1\} \]
Критическая точка в интервале \([-2, 2]\) — это \( x = -1 \).
Шаг 2: Вычисление значений функции
Теперь найдем значения функции в критической точке и на границах отрезка \([-2, 2]\):
\( f(-2) \): \[ f(-2) = 9(-2) + 3(-2)^2 - (-2)^3 = -18 + 3 \cdot 4 + 8 = -18 + 12 + 8 = 2 \]
\( f(2) \): \[ f(2) = 9(2) + 3(2)^2 - (2)^3 = 18 + 3 \cdot 4 - 8 = 18 + 12 - 8 = 22 \]
\( f(-1) \): \[ f(-1) = 9(-1) + 3(-1)^2 - (-1)^3 = -9 + 3 + 1 = -5 \]
Шаг 3: Определение максимума и минимума
Теперь у нас есть значения функции в ключевых точках:
- \( f(-2) = 2 \)
- \( f(-1) = -5 \)
- \( f(2) = 22 \)
На основании этих значений:
- Минимум функции на отрезке \([-2, 2]\) равен \(-5\) (в точке \( x = -1 \)).
- Максимум функции равен \(22\) (в точке \( x = 2 \)).
Шаг 4: Итоги
- Максимальное значение \( f(x) \) на отрезке \([-2, 2]\) равно \(22\) и достигается в точке \( x = 2 \).
- Минимальное значение \( f(x) \) равно \(-5\) и достигается в точке \( x = -1 \).
Если у тебя есть дополнительные вопросы или нужно прояснить какой-то момент, дай знать!
