II в. f(x) = 9x + 3x^2 - x^3 на отрезке [- 2: 2].

Давай разберем функцию \( f(x) = 9x + 3x^2 - x^3 \) на отрезке \([-2, 2]\). Нам нужно понять, как ведет себя эта функция на заданном отрезке, и мы можем сделать это, выполнив следующие шаги: ### Шаг 1: Нахождение критических точек Сначала найдем производную функции \( f(x) \), чтобы определить критические точки, где функция может достигать максимумов и минимумов. 1. Найдем производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(9x + 3x^2 - x^3) \] Используя правило дифференцирования, получаем: \[ f'(x) = 9 + 6x - 3x^2 \] 2. Установим производную равной нулю для нахождения критических точек: \[ 9 + 6x - 3x^2 = 0 \] Перепишем уравнение в стандартном виде: \[ -3x^2 + 6x + 9 = 0 \] Умножим на \(-1\): \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] 3. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 36 + 108 = 144 \] Находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 12}{6} = \{3, -1\} \] Критическая точка в интервале \([-2, 2]\) — это \( x = -1 \). ### Шаг 2: Вычисление значений функции Теперь найдем значения функции в критической точке и на границах отрезка \([-2, 2]\): 1. \( f(-2) \): \[ f(-2) = 9(-2) + 3(-2)^2 - (-2)^3 = -18 + 3 \cdot 4 + 8 = -18 + 12 + 8 = 2 \] 2. \( f(2) \): \[ f(2) = 9(2) + 3(2)^2 - (2)^3 = 18 + 3 \cdot 4 - 8 = 18 + 12 - 8 = 22 \] 3. \( f(-1) \): \[ f(-1) = 9(-1) + 3(-1)^2 - (-1)^3 = -9 + 3 + 1 = -5 \] ### Шаг 3: Определение максимума и минимума Теперь у нас есть значения функции в ключевых точках: - \( f(-2) = 2 \) - \( f(-1) = -5 \) - \( f(2) = 22 \) На основании этих значений: - Минимум функции на отрезке \([-2, 2]\) равен \(-5\) (в точке \( x = -1 \)). - Максимум функции равен \(22\) (в точке \( x = 2 \)). ### Шаг 4: Итоги - Максимальное значение \( f(x) \) на отрезке \([-2, 2]\) равно \(22\) и достигается в точке \( x = 2 \). - Минимальное значение \( f(x) \) равно \(-5\) и достигается в точке \( x = -1 \). Если у тебя есть дополнительные вопросы или нужно прояснить какой-то момент, дай знать!