Чтобы найти вероятность того, что Ваня и Таня окажутся рядом в хороводе из 15 воспитанников, воспользуемся комбинаторным методом. Рассмотрим шаги решения задачи.
Шаг 1: Общее количество способов расположить всех воспитанников
В хороводе из 15 человек можно расположить их в круге. Количество способов расположить ( n ) человек в круге рассчитывается как ( (n-1)! ). Это происходит потому, что мы можем зафиксировать одного человека для устранения симметрии (так как в круге вращение приводит к одинаковым расположениям).
Для 15 человек мы имеем:
[
(15-1)! = 14!
]
Шаг 2: Подсчет благоприятных исходов
Теперь сосчитаем, сколько способов существует для того, чтобы Ваня и Таня оказались рядом. Для этого мы будем рассматривать Ваню и Таню как одну "состоящую" единицу или "блок".
- Если мы рассматриваем Ваню и Таню как единый блок (то есть, два человека, которые всегда находятся рядом), то у нас остается 14 элементов: этот "блок" и 13 других воспитанников.
- Теперь мы можем расположить эти 14 элементов в круге. Количество способов расположить 14 элементов в круге:
[
(14-1)! = 13!
]
- Так как Ваня и Таня в этом "блоке" могут располагаться двумя способами (Ваня слева от Тани или Таня слева от Вани), мы умножаем количество способов расположить блок на 2:
[
2 \cdot 13!
]
Шаг 3: Блоки и вероятность
Теперь, чтобы найти вероятность того, что Ваня и Таня окажутся рядом, мы используем формулу вероятности:
[
P(\text{Ваня рядом с Таней}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{2 \cdot 13!}{14!}
]
Шаг 4: Упрощение выражения
Заметим, что:
[
14! = 14 \cdot 13!
]
Подставив это в формулу вероятности:
[
P(\text{Ваня рядом с Таней}) = \frac{2 \cdot 13!}{14 \cdot 13!} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}
]
Ответ
Вероятность того, что Ваня и Таня окажутся рядом в хороводе из 15 воспитанников, равна ( \frac{1}{7} ).
Это означает, что в каждом седьмом хороводе, ожидается, что Ваня и Таня окажутся рядом друг с другом.
