В детском саду на утреннике 15 воспитанников встают в хоровод. Среди них Ваня и Таня. Какова вероятность того, что Ваня и Таня окажутся рядом

Чтобы найти вероятность того, что Ваня и Таня окажутся рядом в хороводе из 15 воспитанников, воспользуемся комбинаторным методом. Рассмотрим шаги решения задачи.

Шаг 1: Общее количество способов расположить всех воспитанников

В хороводе из 15 человек можно расположить их в круге. Количество способов расположить \( n \) человек в круге рассчитывается как \( (n-1)! \). Это происходит потому, что мы можем зафиксировать одного человека для устранения симметрии (так как в круге вращение приводит к одинаковым расположениям).

Для 15 человек мы имеем: \[ (15-1)! = 14! \]

Шаг 2: Подсчет благоприятных исходов

Теперь сосчитаем, сколько способов существует для того, чтобы Ваня и Таня оказались рядом. Для этого мы будем рассматривать Ваню и Таню как одну "состоящую" единицу или "блок".

1. Если мы рассматриваем Ваню и Таню как единый блок (то есть, два человека, которые всегда находятся рядом), то у нас остается 14 элементов: этот "блок" и 13 других воспитанников.
2. Теперь мы можем расположить эти 14 элементов в круге. Количество способов расположить 14 элементов в круге: \[ (14-1)! = 13! \]
3. Так как Ваня и Таня в этом "блоке" могут располагаться двумя способами (Ваня слева от Тани или Таня слева от Вани), мы умножаем количество способов расположить блок на 2: \[ 2 \cdot 13! \]

Шаг 3: Блоки и вероятность

Теперь, чтобы найти вероятность того, что Ваня и Таня окажутся рядом, мы используем формулу вероятности: \[ P(\text{Ваня рядом с Таней}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{2 \cdot 13!}{14!} \]

Шаг 4: Упрощение выражения

Заметим, что: \[ 14! = 14 \cdot 13! \] Подставив это в формулу вероятности: \[ P(\text{Ваня рядом с Таней}) = \frac{2 \cdot 13!}{14 \cdot 13!} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7} \]

Ответ

Вероятность того, что Ваня и Таня окажутся рядом в хороводе из 15 воспитанников, равна \( \frac{1}{7} \).

Это означает, что в каждом седьмом хороводе, ожидается, что Ваня и Таня окажутся рядом друг с другом.