периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. найдите периметр правильного пятиугольника, вписанного в эту же окружность
Для решения задачи сначала разберёмся с тем, как связаны периметры квадрата и правильного пятиугольника, описанных около одной и той же окружности.
Шаг 1: Найдём сторону квадрата
Дано, что периметр квадрата равен 16 дм. Чтобы найти длину стороны квадрата \( a \), воспользуемся формулой для периметра квадрата:
\[ P_{к} = 4a \]
где \( P_{к} \) — периметр квадрата. Подставим данные:
\[ 16 = 4a \]
Теперь решим это уравнение для \( a \):
\[ a = \frac{16}{4} = 4 \, \text{дм} \]
Шаг 2: Найдём радиус окружности, описанной около квадрата
У квадрата, описанного вокруг окружности (значит, окружность касается всех сторон квадрата), радиус окружности \( R \) равен половине длины стороны квадрата:
\[ R = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2 \, \text{дм} \]
Шаг 3: Найдём периметр правильного пятиугольника
Теперь перейдём к правильному пятиугольнику, вписанному в ту же окружность. Для правильного пятиугольника, вписанного в окружность, его сторона \( b \) может быть найдена с помощью формулы, связывающей радиус окружности \( R \) и длину стороны \( b \):
\[ b = R \cdot \sqrt{2 - 2 \cos\left(\frac{360^\circ}{5}\right)} = R \cdot \sqrt{2 - 2 \cos(72^\circ)} \]
Известно, что \( \cos(72^\circ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \). Подставим радиус \( R = 2 \):
\[ b = 2 \cdot \sqrt{2 - 2 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{4}} \]
Упростим выражение под корнем:
\[ b = 2 \cdot \sqrt{2 - \frac{2 + 2\sqrt{5}}{4}} = 2 \cdot \sqrt{2 - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{4 - 1 - \sqrt{5}}{2}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \]
Шаг 4: Вычислим периметр пятиугольника
Теперь, зная длину стороны \( b \), можем найти периметр правильного пятиугольника \( P_{п} \):
\[ P_{п} = 5b = 5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}\right) = 10 \cdot \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} \]
Теперь подставим числовые значения:
- Вычислим \( 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.236 = 0.764 \).
- Делим на 2: \( \frac{0.764}{2} \approx 0.382 \).
- Берём квадратный корень: \( \sqrt{0.382} \approx 0.617 \).
- Умножаем на 10: \( 10 \cdot 0.617 \approx 6.17 \).
Ответ
Периметр правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность, составляет примерно 6.17 дм.
