Найдите значение выражения 9x-25y/3√x-5√y -3√y если √х+√у=6

В данной задаче нужно найти значение выражения \[ \frac{9x - 25y}{3\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} - 3\sqrt{y} \] при условии, что \[ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 6. \] ### Шаг 1: Подставим переменные Обозначим: \[ \sqrt{x} = a \quad \text{и} \quad \sqrt{y} = b. \] Тогда у нас есть система: \[ a + b = 6. \] Также можно выразить \(x\) и \(y\) через \(a\) и \(b\): \[ x = a^2 \quad \text{и} \quad y = b^2. \] ### Шаг 2: Подставим значения в выражение Теперь подставим эти выражения в исходное выражение: 1. Подставим \(x\) и \(y\): \[ 9x - 25y = 9a^2 - 25b^2, \] \[ 3\sqrt{x} - 5\sqrt{y} = 3a - 5b. \] Теперь мы можем переписать выражение: \[ \frac{9a^2 - 25b^2}{3a - 5b} - 3b. \] ### Шаг 3: Упростим дробь Для упрощения дроби \(\frac{9a^2 - 25b^2}{3a - 5b}\) можно воспользоваться формулой разности квадратов: \[ 9a^2 - 25b^2 = (3a + 5b)(3a - 5b). \] Подставим это в дробь: \[ \frac{(3a + 5b)(3a - 5b)}{3a - 5b}. \] При условии, что \(3a - 5b \neq 0\), можем сократить дробь: \[ 3a + 5b. \] Таким образом, выражение теперь выглядит следующим образом: \[ 3a + 5b - 3b = 3a + 2b. \] ### Шаг 4: Подставим значение \(b\) Теперь вернемся к нашему уравнению \(a + b = 6\). Мы можем выразить \(b\): \[ b = 6 - a. \] Подставим \(b\) в \(3a + 2b\): \[ 3a + 2(6 - a) = 3a + 12 - 2a = a + 12. \] ### Шаг 5: Найдем значение \(a + b\) Помним, что \(a + b = 6\), поэтому: \[ a = 6 - b. \] Таким образом, максимальное значение \(3\) при \(6\): 1. Если \(a = 0\), то \(b = 6\). 2. Если \(a = 6\), то \(b = 0\). Но нам необходимо строгое значение: Когда \(a = 3\), \[ b = 6 - 3 = 3. \] Следовательно, итоговое значение выражения равно: \[ 3 + 12 = 15. \] ### Ответ Таким образом, значение исходного выражения равно: \[ \boxed{15}. \]