найдите значение выражения 9x-25y/3√x-5√y -3√y если √х+√у=6
В данной задаче нужно найти значение выражения
\[ \frac{9x - 25y}{3\sqrt{x} - 5\sqrt{y}} - 3\sqrt{y} \]
при условии, что
\[ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 6. \]
Шаг 1: Подставим переменные
Обозначим:
\[ \sqrt{x} = a \quad \text{и} \quad \sqrt{y} = b. \]
Тогда у нас есть система:
\[ a + b = 6. \]
Также можно выразить \(x\) и \(y\) через \(a\) и \(b\):
\[ x = a^2 \quad \text{и} \quad y = b^2. \]
Шаг 2: Подставим значения в выражение
Теперь подставим эти выражения в исходное выражение:
- Подставим \(x\) и \(y\):
\[ 9x - 25y = 9a^2 - 25b^2, \] \[ 3\sqrt{x} - 5\sqrt{y} = 3a - 5b. \]
Теперь мы можем переписать выражение:
\[ \frac{9a^2 - 25b^2}{3a - 5b} - 3b. \]
Шаг 3: Упростим дробь
Для упрощения дроби \(\frac{9a^2 - 25b^2}{3a - 5b}\) можно воспользоваться формулой разности квадратов:
\[ 9a^2 - 25b^2 = (3a + 5b)(3a - 5b). \]
Подставим это в дробь:
\[ \frac{(3a + 5b)(3a - 5b)}{3a - 5b}. \]
При условии, что \(3a - 5b \neq 0\), можем сократить дробь:
\[ 3a + 5b. \]
Таким образом, выражение теперь выглядит следующим образом:
\[ 3a + 5b - 3b = 3a + 2b. \]
Шаг 4: Подставим значение \(b\)
Теперь вернемся к нашему уравнению \(a + b = 6\). Мы можем выразить \(b\):
\[ b = 6 - a. \]
Подставим \(b\) в \(3a + 2b\):
\[ 3a + 2(6 - a) = 3a + 12 - 2a = a + 12. \]
Шаг 5: Найдем значение \(a + b\)
Помним, что \(a + b = 6\), поэтому:
\[ a = 6 - b. \]
Таким образом, максимальное значение \(3\) при \(6\):
- Если \(a = 0\), то \(b = 6\).
- Если \(a = 6\), то \(b = 0\).
Но нам необходимо строгое значение:
Когда \(a = 3\),
\[ b = 6 - 3 = 3. \]
Следовательно, итоговое значение выражения равно:
\[ 3 + 12 = 15. \]
Ответ
Таким образом, значение исходного выражения равно:
\[ \boxed{15}. \]
