Чтобы решить задачу, давайте обозначим два натуральных числа, которые нам нужно найти:
Обозначим меньшее число как ( x ). Поскольку одно число больше другого на 3, большее число будет равно ( x + 3 ).
Теперь мы знаем, что:
- Произведение этих чисел равно 180:
[
x \cdot (x + 3) = 180
]
Теперь раскроем скобки:
[
x^2 + 3x = 180
]
Переносим 180 на левую сторону уравнения:
[
x^2 + 3x - 180 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью дискриминанта или factoring. Начнем с вычисления дискриминанта ( D ):
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = 3 ), и ( c = -180 ).
Подставим значения:
[
D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729
]
Теперь находим корни уравнения по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значение дискриминанта и коэффициенты:
[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{2 \cdot 1}
]
Зная, что ( \sqrt{729} = 27 ), продолжаем:
[
x = \frac{-3 \pm 27}{2}
]
Теперь вычисляем два возможных значения для ( x ):
1.
[
x_1 = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12
]
2.
[
x_2 = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \quad (\text{не подходит, так как число натуральное})
]
Таким образом, единственное подходящее значение для ( x ) — это 12. Теперь найдем большее число:
[
x + 3 = 12 + 3 = 15
]
Итак, два натуральных числа, произведение которых равно 180 и одно из которых больше другого на 3, это:
- Меньшее число: 12
- Большое число: 15
Ответ: 12 и 15.
