В квадрате 6 на 6 закрашены некоторые клетки. для каждой закрашенной клетки существует не более двух закрашенных клеток, имеющих с ней общую сторону. Какое наибольшее количество клеток может быть закрашено?

Давайте решим задачу поэтапно. ### Понимание задачи У нас есть квадратная сетка 6x6, что означает, что у нас есть всего 36 клеток (6 рядов и 6 столбцов). Мы должны закрасить клетки, следуя правилу: для каждой закрашенной клетки может быть закрашено не более двух соседних клеток (т.е. клеток, которые находятся с ней на одной стороне). ### Визуализация Представим себе 6x6 сетку, где "X" обозначает закрашенную клетку, а "." — незакрашенную: ``` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ``` ### Необходимое условие Если закрашена клетка, то к ней можно добавить закрашенные соседние клетки, но лишь до двух. ### Создание стратегии Чтобы максимизировать количество закрашенных клеток, можно использовать "проволочную" (или шахматную) стратегию, где мы будем чередовать закрашенные и незакрашенные клетки. ### Шахматная раскладка Попробуем использовать модель, где закрашенные клетки расположены, как в шахматной доске, но с некоторыми изменениями. Посмотрим на пример: ``` X . X . X . . X . X . X X . X . X . . X . X . X X . X . X . . X . X . X ``` Здесь мы закрасили 18 клеток. Давайте проверим, удовлетворяет ли это условию, что у каждой закрашенной клетки не более 2 закрашенных соседей: - Каждая клетка, например, в первом ряду, имеет только 2 соседние закрашенные клетки. Аналогично для всех остальных закрашенных клеток. ### Подсчет клеток Подсчет показал, что при данной раскладке закрашено 18 клеток, что вполне соответствует заданному условию. ### Пробуем другую конфигурацию Посмотрим, можем ли мы закрасить больше клеток, например, добавив клетки следующим образом: ``` X X . X X . X . X . X X . X X X . X X X . X . X X . X . X X X X . X X . ``` Здесь закрашено уже больше клеток. Однако, если проверить каждую закрашенную клетку, то мы увидим, что некоторые из них имеют более 2 соседей, что нарушает правило. ### Оптимизация Следуя чередованию клеток, мы пришли к заключению, что лучший способ — это оставлять по одной незакрашенной клетке между двумя закрашенными в одном ряду и одном столбце. ### Заключение После проверки разных стратегий, мы убеждаемся, что наибольшее количество клеток, которое может быть закрашено при соблюдении условий задачи, равно **18 клеток**. Таким образом, ответ на задачу — **18 клеток**.