log^6(14-4x)=log^6(2x-3)
Чтобы решить уравнение \( \log^6(14 - 4x) = \log^6(2x - 3) \), нам необходимо понять, как работают логарифмы и как можно упростить это уравнение. Давайте разложим решение шаг за шагом.
Шаг 1: Убираем шестую степень
Поскольку у нас равенство двух логарифмов, возведённых в шестую степень, можно избавиться от степени, приняв логарифмы равными, при условии, что значения под логарифмами положительны:
\[ \log(14 - 4x) = \log(2x - 3) \]
Это равенство будет истинно, если оба выражения под логарифмами равны. То есть:
\[ 14 - 4x = 2x - 3 \]
Шаг 2: Решаем полученное уравнение
Теперь нужно решить это уравнение:
- Перемещаем все члены, содержащие \(x\), на одну сторону, а остальные на другую:
\[ 14 + 3 = 2x + 4x \]
Это упрощается до:
\[ 17 = 6x \]
- Теперь, чтобы найти \(x\), делим обе стороны на 6:
\[ x = \frac{17}{6} \]
Шаг 3: Проверяем условия существования логарифмов
Мы нашли \(x\), но нам нужно убедиться, что значения под логарифмами действительно положительны для найденного \(x\):
Подставляем \(x = \frac{17}{6}\) в первое выражение: \[ 14 - 4 \left(\frac{17}{6}\right) = 14 - \frac{68}{6} = 14 - \frac{34}{3} = \frac{42}{3} - \frac{34}{3} = \frac{8}{3} > 0 \]
Теперь проверяем второе выражение: \[ 2 \left(\frac{17}{6}\right) - 3 = \frac{34}{6} - 3 = \frac{34}{6} - \frac{18}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} > 0 \]
Шаг 4: Заключение
Оба значения под логарифмами положительны, поэтому решение уравнения допустимо.
Таким образом, окончательное решение уравнения:
\[ x = \frac{17}{6} \]
