x^2+3x/2+x-3x^2/8=2x

Чтобы решить уравнение \( \frac{x^2 + 3x}{2} + x - \frac{3x^2}{8} = 2x \), мы будем действовать поэтапно.

Шаг 1: Упростить уравнение

Первым делом, упрощаем выражение с обеих сторон уравнения. Сначала приведем все к одному знаменателю. В данном случае наименьший общий знаменатель для дробей \(2\) и \(8\) – это \(8\).

Перепишем все члены уравнения с учетом общего знаменателя:

\[ \frac{4(x^2 + 3x)}{8} + \frac{8x}{8} - \frac{3x^2}{8} = \frac{16x}{8} \]

Шаг 2: Убрать дроби

Запишем уравнение без дробей, умножив все выражение на \(8\):

\[ 4(x^2 + 3x) + 8x - 3x^2 = 16x \]

Теперь раскроем скобки и упростим:

\[ 4x^2 + 12x + 8x - 3x^2 = 16x \]

Шаг 3: Собрать подобные члены

Соберем все члены на одной стороне:

\[ 4x^2 - 3x^2 + 12x + 8x - 16x = 0 \]

Упрощая, получаем:

\[ x^2 + 4x - 16 = 0 \]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь мы имеем квадратное уравнение \( x^2 + 4x - 16 = 0 \). Используем формулу корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -16\).

Подставим значения \(a\), \(b\), и \(c\):

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} \]

Шаг 5: Вычисление дискриминанта

Вычислим дискриминант:

\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 16 + 64 = 80 \]

Корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

Шаг 6: Подставляем дискриминант обратно в формулу

Теперь подставляем дискриминант обратно:

\[ x = \frac{-4 \pm 4\sqrt{5}}{2} \]

Упрощаем:

\[ x = -2 \pm 2\sqrt{5} \]

Шаг 7: Итоговые корни уравнения

Таким образом, окончательные корни уравнения:

\[ x_1 = -2 + 2\sqrt{5} \] \[ x_2 = -2 - 2\sqrt{5} \]

Заключение

Мы решили уравнение \( \frac{x^2 + 3x}{2} + x - \frac{3x^2}{8} = 2x \), и в результате получили два корня: \( x = -2 + 2\sqrt{5} \) и \( x = -2 - 2\sqrt{5} \).