В прямоугольнике ABCD AB =3 BC=4 ,точка О- точка пересечения диагоналей. Найдите |1/2BD - 1/2CA|

Для решения задачи, давайте сначала представим прямоугольник ABCD и его диагонали. 1. **Построение прямоугольника ABCD:** - Пусть точка A находится в начале координат (0, 0). - Точка B будет (3, 0) (так как AB = 3). - Точка C будет (3, 4) (поскольку BC = 4). - Точка D будет (0, 4). Таким образом, координаты точек: - A(0, 0) - B(3, 0) - C(3, 4) - D(0, 4) 2. **Находим точку O – пересечение диагоналей:** - Диагонали прямоугольника AC и BD пересекаются в их серединах. Що значит, что координаты точки O можно вычислить, усреднив координаты концов диагоналей. - Координаты C = (3, 4) и A = (0, 0) дают: \[ O_C = \left( \frac{0 + 3}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \] - Координаты D = (0, 4) и B = (3, 0) дают: \[ O_B = \left( \frac{0 + 3}{2}, \frac{4 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 2 \right) \] Таким образом, координаты точки O одинаковы в обоих случаях: O(1.5, 2). 3. **Теперь найдем длины BD и CA:** - Длина BD (поэтому мы вычислим расстояние между точками B и D): \[ BD = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] - Длина CA (расстояние между точками C и A): \[ CA = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] 4. **Подсчитаем |1/2BD - 1/2CA|:** - Подставим значения BD и CA в выражение: \[ |1/2 \cdot 5 - 1/2 \cdot 5| = |2.5 - 2.5| = |0| = 0 \] Таким образом, ответ на задачу: \[ | \frac{1}{2} BD - \frac{1}{2} CA | = 0 \]