решить

Давай решим эту задачу вместе. Здесь нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми:

\[ y = -x^2 - 4x + 2 \] и \[ y = -x^2 - 6x - 6 \].

Сначала найдем точки пересечения этих кривых. Это нужно, чтобы определить пределы интегрирования. Давай приравняем правые части уравнений кривых:

\[ -x^2 - 4x + 2 = -x^2 - 6x - 6 \].

Теперь упростим уравнение:

\[ 2x = 8 \]

\[ x = 4 \].

Это значит, что кривые пересекаются в точке \( x = 4 \). Теперь давай подставим это значение в любое из уравнений кривых, чтобы найти соответствующее значение \( y \). Например, возьмем первое уравнение:

\[ y = -4^2 - 4*4 + 2 = -16 - 16 + 2 = -30 \].

Итак, у нас есть точка пересечения кривых (4, -30). Однако, нужно учесть, что кривые пересекаются также и в другом месте, при \( x = 0 \). Так как при \( x = 0 \) обе кривые дают \( y = 2 \).

Теперь давай найдем площадь фигуры, используя определенный интеграл. Площадь фигуры между кривой \( y = -x^2 - 4x + 2 \) и осью \( x \) на отрезке [0, 4] будет равна:

[ \int_{0}^{