Найти периметр

Для нахождения периметра треугольника на изображении с буквой (б), вспомним основные понятия. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

На изображении дан прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) с углами 75°, 15° и 90°. Точка \( C \) — вершина прямого угла. Дана длина стороны \( AC = 12 \).

Учитывая свойства треугольников и зная, что сумма углов прямоугольного треугольника равна 180°, можем определить углы:

• \( \angle ACB = 90^\circ \)
• \( \angle BAC = 75^\circ \)
• \( \angle ABC = 15^\circ \)

Используя функцию косинуса для угла \( \angle BAC \), определим длину гипотенузы \( AB \):

\[ \cos 75^\circ = \frac{AC}{AB} \]

Отсюда:

\[ AB = \frac{AC}{\cos 75^\circ} \]

Используем значение \( \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).

Подставляем значение:

\[ AB = \frac{12}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{12 \times 4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное:

\[ AB = \frac{48(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} \]

\[ AB = \frac{48(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = 12(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \]

Теперь найдём \( BC \) с использованием функции синуса для \( \angle BAC \):

\[ \sin 75^\circ = \frac{BC}{AC} \]

Отсюда:

\[ BC = AC \times \sin 75^\circ \]

Используем значение \( \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \):

\[ BC = 12 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \]

Таким образом, периметр \( P \) равен:

\[ P = AB + BC + AC = 12(\sqrt{6} + \sqrt{2}) + 3(\sqrt{6} + \sqrt{2}) + 12 \]

\[ P = 15(\sqrt{6} + \sqrt{2}) + 12 \]

Это и есть периметр треугольника \( \triangle ABC \).