Найти интервалы озрастания и убывания функции: f(x) =x^3- 3x² + 32x-7
Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x - 7 \), необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найдите производную функции
Сначала найдем производную функции \( f(x) \). Производная показывает скорость изменения функции и, в частности, нам поможет определить, где функция возрастает (производная положительна) и где убывает (производная отрицательна).
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(32x) - \frac{d}{dx}(7) \]
Используя правило дифференцирования, получаем:
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 32 \]
Шаг 2: Найдите критические точки
Чтобы найти критические точки, необходимо решить уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ 3x^2 - 6x + 32 = 0 \]
Можно упростить уравнение, разделив все его части на 3:
\[ x^2 - 2x + \frac{32}{3} = 0 \]
Теперь используем дискриминант для выяснения, есть ли реальные корни:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = \frac{32}{3} \):
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{32}{3} = 4 - \frac{128}{3} = \frac{12}{3} - \frac{128}{3} = -\frac{116}{3} \]
Поскольку дискриминант \( D < 0 \), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что производная не меняет знак и, следовательно, функция \( f(x) \) не имеет критических точек.
Шаг 3: Определите знак производной
Теперь можем проанализировать знак производной \( f'(x) \):
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 32 \]
Так как это квадратный многочлен с положительным коэффициентом при \( x^2 \) (3), то он открывается вверх, и поскольку дискриминант меньше 0, \( f'(x) \) всегда положителен для всех \( x \).
Шаг 4: Следствия
Функция возрастает на всей области: так как производная положительна для всех \( x \), это означает, что функция \( f(x) \) возрастает на интервале \((- \infty, + \infty)\).
Нет интервалов убывания: так как функция не имеет точек, где бы она убывала.
Ответ
- Интервалы возрастания: \( (-\infty, +\infty) \)
- Интервалы убывания: нет
Таким образом, функция \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x - 7 \) возрастает на всем заданном интервале.
