Найти интервалы озрастания и убывания функции: f(x) =x^3- 3x² + 32x-7

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x - 7 \), необходимо выполнить следующие шаги: ### Шаг 1: Найдите производную функции Сначала найдем производную функции \( f(x) \). Производная показывает скорость изменения функции и, в частности, нам поможет определить, где функция возрастает (производная положительна) и где убывает (производная отрицательна). \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(32x) - \frac{d}{dx}(7) \] Используя правило дифференцирования, получаем: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 32 \] ### Шаг 2: Найдите критические точки Чтобы найти критические точки, необходимо решить уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 6x + 32 = 0 \] Можно упростить уравнение, разделив все его части на 3: \[ x^2 - 2x + \frac{32}{3} = 0 \] Теперь используем дискриминант для выяснения, есть ли реальные корни: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = \frac{32}{3} \): \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{32}{3} = 4 - \frac{128}{3} = \frac{12}{3} - \frac{128}{3} = -\frac{116}{3} \] Поскольку дискриминант \( D < 0 \), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что производная не меняет знак и, следовательно, функция \( f(x) \) не имеет критических точек. ### Шаг 3: Определите знак производной Теперь можем проанализировать знак производной \( f'(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 32 \] Так как это квадратный многочлен с положительным коэффициентом при \( x^2 \) (3), то он открывается вверх, и поскольку дискриминант меньше 0, \( f'(x) \) всегда положителен для всех \( x \). ### Шаг 4: Следствия 1. **Функция возрастает на всей области**: так как производная положительна для всех \( x \), это означает, что функция \( f(x) \) возрастает на интервале \((- \infty, + \infty)\). 2. **Нет интервалов убывания**: так как функция не имеет точек, где бы она убывала. ### Ответ - **Интервалы возрастания:** \( (-\infty, +\infty) \) - **Интервалы убывания:** нет Таким образом, функция \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 32x - 7 \) возрастает на всем заданном интервале.