В равнобедренном треугольнике ABC, с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите угол ADC, если ∠ C = 6 0 .

Для решения задачи начнем с описания равнобедренного треугольника ABC с основанием AC. Обозначим, что AB = AC, и ∠C = 60°.

1. Определим углы треугольника: Поскольку ABC — равнобедренный треугольник, углы при основании равны. Обозначим углы A и B как α. Таким образом, мы можем выразить сумму углов треугольника:

   \[ α + α + 60° = 180° \]

   Это упрощается до:

   \[ 2α + 60° = 180° \]

   Выразим α:

   \[ 2α = 180° - 60° \] \[ 2α = 120° \] \[ α = 60° \]

   Таким образом, угол A и угол B тоже равны 60°.

2. Теперь используем информацию о биссектрисе: Теперь проведем биссектрису AD, которая делит угол A на два равных угла. Угол A равен 60°, следовательно, угол BAD и угол CAD равны:

   \[ ∠BAD = ∠CAD = \frac{60°}{2} = 30° \]

3. Найдем угол ADC: Теперь мы хотим найти угол ADC. Для этого заметим, что треугольник ACD является треугольником, где мы уже знаем угол CAD (30°) и угол ACD (60°).

   Сумма углов в треугольнике ACD составляет:

   \[ ∠CAD + ∠ACD + ∠ADC = 180° \] Подставим известные значения:

   \[ 30° + 60° + ∠ADC = 180° \]

   Упростим уравнение:

   \[ 90° + ∠ADC = 180° \]

   Теперь найдем угол ADC:

   \[ ∠ADC = 180° - 90° = 90° \]

Таким образом, угол ADC равен 90°.

Ответ: Угол ADC равен 90°.