Чтобы найти длину вектора (2\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + 4\mathbf{c}), начнем с того, что сначала вычислим сам вектор, а затем найдем его длину. Давайте рассмотрим это шаг за шагом.
Шаг 1: Определим векторы
Итак, у нас есть векторы:
[
\mathbf{a} = (8, -8)
]
[
\mathbf{b} = (5, -4)
]
[
\mathbf{c} = (6, 6)
]
Шаг 2: Умножим векторы на указанные скаляры
Теперь давайте найдем (2\mathbf{a}), (-2\mathbf{b}) и (4\mathbf{c}):
Умножим вектор (\mathbf{a}) на 2:
[
2\mathbf{a} = 2 \cdot (8, -8) = (16, -16)
]
Умножим вектор (\mathbf{b}) на -2:
[
-2\mathbf{b} = -2 \cdot (5, -4) = (-10, 8)
]
Умножим вектор (\mathbf{c}) на 4:
[
4\mathbf{c} = 4 \cdot (6, 6) = (24, 24)
]
Шаг 3: Сложим полученные векторы
Теперь мы сложим полученные векторы:
[
2\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + 4\mathbf{c} = (16, -16) + (-10, 8) + (24, 24)
]
Сложим компоненты по осям (x) и (y):
Компонента x:
[
16 - 10 + 24 = 30
]
Компонента y:
[
-16 + 8 + 24 = 16
]
Таким образом, вектор (2\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + 4\mathbf{c}) равен:
[
(30, 16)
]
Шаг 4: Найдем длину вектора
Длина вектора ((x, y)) вычисляется по формуле:
[
|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Подставим наши значения (x = 30) и (y = 16):
[
|\mathbf{v}| = \sqrt{30^2 + 16^2}
]
Сначала найдем квадраты:
[
30^2 = 900
]
[
16^2 = 256
]
Теперь складываем:
[
900 + 256 = 1156
]
Теперь найдем квадратный корень:
[
|\mathbf{v}| = \sqrt{1156} = 34
]
Ответ
Таким образом, длина вектора (2\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + 4\mathbf{c}) равна (34).
