Даны векторы a(8;-8),b(5;-4)и c(6;6). Найдите длину вектора 2a-2b+4c

Чтобы найти длину вектора \(2\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + 4\mathbf{c}\), начнем с того, что сначала вычислим сам вектор, а затем найдем его длину. Давайте рассмотрим это шаг за шагом.

Шаг 1: Определим векторы

Итак, у нас есть векторы: \[ \mathbf{a} = (8, -8) \] \[ \mathbf{b} = (5, -4) \] \[ \mathbf{c} = (6, 6) \]

Шаг 2: Умножим векторы на указанные скаляры

Теперь давайте найдем \(2\mathbf{a}\), \(-2\mathbf{b}\) и \(4\mathbf{c}\):

1. Умножим вектор \(\mathbf{a}\) на 2: \[ 2\mathbf{a} = 2 \cdot (8, -8) = (16, -16) \]

2. Умножим вектор \(\mathbf{b}\) на -2: \[ -2\mathbf{b} = -2 \cdot (5, -4) = (-10, 8) \]

3. Умножим вектор \(\mathbf{c}\) на 4: \[ 4\mathbf{c} = 4 \cdot (6, 6) = (24, 24) \]

Шаг 3: Сложим полученные векторы

Теперь мы сложим полученные векторы: \[ 2\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + 4\mathbf{c} = (16, -16) + (-10, 8) + (24, 24) \]

Сложим компоненты по осям \(x\) и \(y\):

Компонента x: \[ 16 - 10 + 24 = 30 \]

Компонента y: \[ -16 + 8 + 24 = 16 \]

Таким образом, вектор \(2\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + 4\mathbf{c}\) равен: \[ (30, 16) \]

Шаг 4: Найдем длину вектора

Длина вектора \((x, y)\) вычисляется по формуле: \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Подставим наши значения \(x = 30\) и \(y = 16\): \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{30^2 + 16^2} \]

Сначала найдем квадраты: \[ 30^2 = 900 \] \[ 16^2 = 256 \]

Теперь складываем: \[ 900 + 256 = 1156 \]

Теперь найдем квадратный корень: \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{1156} = 34 \]

Ответ

Таким образом, длина вектора \(2\mathbf{a} - 2\mathbf{b} + 4\mathbf{c}\) равна \(34\).