в треугольнике АВС отмечены середины М и Н стороны ВСЕ и АС соответсвенно . Площадь четырёхугольника АВМН равна 171. Найдите площадь треугольника СНМ

Чтобы решить задачу и найти площадь треугольника \( \triangle CNM \), воспользуемся свойствами треугольников и площадей.

1. Начнем с понимания данной задачи:
   У нас есть треугольник \( ABC \) с отмеченными серединами \( M \) и \( N \) сторон \( BC \) и \( AC \) соответственно. Площадь четырёхугольника \( ABMN \) равна 171.

2. Что мы знаем о свойствах середины сторон?

   • Поскольку \( M \) и \( N \) — середины сторон \( BC \) и \( AC \), это означает, что отрезки \( AM \) и \( AN \) являются медианами для треугольника \( ABC \).
   • Площадь треугольника \( ABC \) будет в 2 раза больше площади \( ABMN \) из-за того, что \( M \) и \( N \) делят его на две равные части.

3. Найдем площадь треугольника \( ABC \):

   • Площадь \( ABC = 2 \cdot S_{ABMN} = 2 \cdot 171 = 342 \).

4. Площадь треугольника \( CNM \):
   Теперь мы рассмотрим площадь \( \triangle CNM \). По правилам о площади треугольника и прямоугольного отображения (или делению на части):

   • Мы знаем, что треугольник \( ACM \) будет иметь такую же площадь, как треугольник \( CNM \), так как и \( M \), и \( N \) являются средними точками.
   • Следовательно, мы можем заключить, что площадь \( CNM \) составляет половину площади между \( ABMN \) и \( ACM \).

5. Используем ранее полученные данные:

   • Площадь четырехугольника \( AMCN \) = Площадь треугольника \( ABC \) - Площадь \( ABMN \): \[ S_{AMCN} = S_{ABC} - S_{ABMN} = 342 - 171 = 171. \]

   Но также \( CNM \) — это одна из секций медиан, и ее площадь будет равна: \[ S_{CNM} = \frac{1}{2} \cdot S_{ACM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{171}{2} = \frac{171}{4}. \]

6. Наконец: Площадь треугольника \( CNM \) будет равна: \[ S_{CNM} = \frac{171}{4} \approx 42.75. \]

Ответ:

Площадь треугольника \( CNM \) равна \( 42.75 \) (или \( \frac{171}{4} \)).