Давайте разберем каждое предложение, расставим знаки препинания и объясним, почему они необходимы.
Люди, рождаясь, кричат на одном языке.
(Знаки препинания: запятые выделяют обстоятельство "рождаясь".)Ленивый, сидя, спит; лёжа работает.
(Знаки препинания: запятые выделяют обстоятельства "сидя" и "лёжа"; точка с запятой разделяет две части сложносочиненного предложения.)Горячим пламенем горел костёр, бросая в темноту скупые блики света.
(Знак препинания: запятая отделяет деепричастный оборот "бросая в темноту скупые блики света".)Жили Артамоновы, ни с кем не знакомясь.
(Знак препинания: запятая выделяет деепричастный оборот "ни с кем не знакомясь".)Начиная с вечера, шел проливной дождь.
(Знак препинания: запятая отделяет обстоятельство "начиная с вечера".)Мальчики шли полем, громко переговариваясь, но, войдя в лес, умолкли.
(Знаки препинания: запятая выделяет обстоятельство "громко переговариваясь"; запятая перед "но" и "войдя в лес" отделяет части сложносочиненного предложения и вводит деепричастный оборот.)Павел приезжал все реже, а, приезжая неожиданно, не задерживался.
(Знаки препинания: запятая перед "а" соединяет части сложносочиненного предложения; запятые отделяют деепричастный оборот "приезжая неожиданно".)Он не просто смотрел, а, пытаясь разглядеть в удаляющейся точке человека, впивался глазами в темноту.
(Знаки препинания: запятая перед "а" соединяет части сложносочиненного предложения; запятая выделяет деепричастный оборот "пытаясь разглядеть".)Костёр по-праздничному играет пламенем, ярко освещая стоянку и отбрасывая в глубину леса трепещущие тени старых лиственниц.
(Знак препинания: запятая отделяет две части сложного предложения; обстоятельства "ярко освещая стоянку" и "отбрасывая в глубину леса трепещущие тени старых лиственниц" объединяются союзом "и".)Он остановил кучера, не доезжая до аллеи, и, отворив дверцу на ходу, выскочил из кареты и пошел в аллею.
(Знаки препинания: запятая выделяет деепричастные обороты "не доезжая до аллеи" и "отворив дверцу на ходу".)Приехав на дачу, мы стали работать, засучив рукава.
(Знаки препинания: запятая выделяет деепричастный оборот "приехав на дачу".)Через час в нашем полотняном домике уже дымилась печь, и, готовя ужин, возле неё суетился Мищенко.
(Знаки препинания: запятая перед "и" соединяет части сложносочиненного предложения; запятая выделяет деепричастный оборот "готовя ужин".)Ручьи, журча и извиваясь, и меж собой перекликаясь, в долину гулкую спешат.
(Знаки препинания: запятые выделяют деепричастные обороты "журча и извиваясь" и "перекликаясь".)
Эти объяснения помогут понять, как правильно расставлять знаки препинания в предложениях с деепричастиями и сложносочиненными структурами.