Давайте разберем задачу по пунктам.
Задача 1: Выпишите коэффициенты квадратного уравнения
Квадратное уравнение имеет стандартный вид:
[ ax^2 + bx + c = 0 ]
где ( a ), ( b ), и ( c ) — это коэффициенты. Давайте выпишем коэффициенты для данных уравнений.
a) ( 3x^2 - 6x - 3 = 0 )
- ( a = 3 )
- ( b = -6 )
- ( c = -3 )
b) ( 3x^2 - 30 = 0 )
Здесь у нас не хватает члена с ( x ). Мы можем переписать уравнение так:
[ 3x^2 + 0x - 30 = 0 ]
- ( a = 3 )
- ( b = 0 )
- ( c = -30 )
8) ( -x^2 + 6x = 0 )
Запишем в стандартной форме:
[ -x^2 + 6x + 0 = 0 ]
- ( a = -1 )
- ( b = 6 )
- ( c = 0 )
Задача 2: Решите уравнения
α) ( 7x^2 - 14 = 0 )
- Прибавим 14 к обеим сторонам:
[ 7x^2 = 14 ]
- Разделим обе стороны на 7:
[ x^2 = 2 ]
- Извлечем корень:
[ x = \pm \sqrt{2} ]
б) ( x^2 - 3x = 0 )
- Вынесем общий множитель ( x ):
[ x(x - 3) = 0 ]
- Приравняем каждое из множителей к нулю:
[ x = 0 \text{ или } x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 ]
6) ( 2j^2 + 5 = 0 )
- Выразим ( j^2 ):
[ 2j^2 = -5 ]
- Разделим на 2:
[ j^2 = -\frac{5}{2} ]
- Поскольку корень из отрицательного числа не существует в реальных числах, уравнение не имеет действительных решений. Оно имеет комплексные корни:
[ j = \pm i\sqrt{\frac{5}{2}} ]
2) ( 16 + x^2 = 0 )
- Переписываем уравнение:
[ x^2 = -16 ]
- Аналогично, уравнение имеет комплексные корни:
[ x = \pm 4i ]
g) ( (x - 1)(x^2 - 4)(1 - x) \cdot x = 0 )
Решим уравнение, приравнивая каждый множитель к нулю:
- ( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 )
- ( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 )
- ( 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1 ) (уже найдено)
- ( x = 0 )
Итак, решения: ( x = 0, 1, 2, -2 ).
y) ( y^2 - 6 = 0 )
- Переписываем уравнение:
[ y^2 = 6 ]
- Извлекаем корень:
[ y = \pm \sqrt{6} ]
Задача 13: Решите полное квадратное уравнение
a) ( 7x^2 + 8x + 1 = 0 )
Используем дискриминант:
- ( D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36 )
- Находим корни:
[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 6}{14} ]
- ( x_1 = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7} )
- ( x_2 = \frac{-14}{14} = -1 )
б) ( (x - 1)^2 = 29 - 5x )
- Раскроем скобки:
[ x^2 - 2x + 1 = 29 - 5x ]
- Переносим все в одну сторону:
[ x^2 + 3x - 28 = 0 ]
- Находим дискриминант:
[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 ]
- Находим корни:
[ x = \frac{-3 \pm 11}{2} ]
- ( x_1 = \frac{8}{2} = 4 )
- ( x_2 = \frac{-14}{2} = -7 )
Задача 4: Решите биквадратное уравнение
a) ( (x + 4)^4 - 6(x + 4)^2 - 7 = 0 )
Обозначим ( u = (x + 4)^2 ):
- Тогда уравнение будет:
[ u^2 - 6u - 7 = 0 ]
- Находим дискриминант:
[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 ]
- Находим корни:
[ u = \frac{6 \pm 8}{2} ]
- ( u_1 = 7 )
- ( u_2 = -1 ) (решения не будет, так как квадрат не может быть отрицательным)
- Возвращаемся к ( x ):
- ( (x + 4)^2 = 7 \Rightarrow x + 4 = \pm \sqrt{7} \Rightarrow x = -4 \pm \sqrt{7} )
Задача 5: Решите дробное рациональное уравнение
a) ( \frac{1}{x^2} + \frac{4}{x} - 12 = 0 )
Умножим все на ( x^2 ) (при условии, что ( x \neq 0 )):
- Получаем:
[ 1 + 4x - 12x^2 = 0 ]
- Переписываем в стандартном виде:
[ -12x^2 + 4x + 1 = 0 ]
или
[ 12x^2 - 4x - 1 = 0 ]
- Находим дискриминант:
[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 16 + 48 = 64 ]
- Находим корни:
[ x = \frac{4 \pm 8}{24} ]
- ( x_1 = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} )
- ( x_2 = \frac{-4}{24} = -\frac{1}{6} )
Теперь у вас есть подробные решения всех представленных задач. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
