Найдите НОД и НОК чисел: а)12 и 20; б)50 и 80; в)24 и 108; г)72 и 48.
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) пар чисел, нужно понять, как вычисляются эти значения.
Шаг 1: Определение НОД и НОК
- НОД (наибольший общий делитель) — это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка.
- НОК (наименьшее общее кратное) — это наименьшее число, которое делится на оба числа нацело.
Для вычисления НОД и НОК некоторых чисел часто используют разложение на простые множители.
Шаг 2: Разложение на простые множители
а) 12 и 20
- 12: \( 12 = 2^2 \cdot 3^1 \)
- 20: \( 20 = 2^2 \cdot 5^1 \)
НОД: берём минимальные степени простых множителей:
\( \text{НОД}(12, 20) = 2^2 = 4 \)
НОК: берём максимальные степени простых множителей:
\( \text{НОК}(12, 20) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 60 \)
б) 50 и 80
- 50: \( 50 = 2^1 \cdot 5^2 \)
- 80: \( 80 = 2^4 \cdot 5^1 \)
НОД:
\( \text{НОД}(50, 80) = 2^1 \cdot 5^1 = 10 \)
НОК:
\( \text{НОК}(50, 80) = 2^4 \cdot 5^2 = 200 \)
в) 24 и 108
- 24: \( 24 = 2^3 \cdot 3^1 \)
- 108: \( 108 = 2^2 \cdot 3^3 \)
НОД:
\( \text{НОД}(24, 108) = 2^2 \cdot 3^1 = 12 \)
НОК:
\( \text{НОК}(24, 108) = 2^3 \cdot 3^3 = 216 \)
г) 72 и 48
- 72: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \)
- 48: \( 48 = 2^4 \cdot 3^1 \)
НОД:
\( \text{НОД}(72, 48) = 2^3 \cdot 3^1 = 24 \)
НОК:
\( \text{НОК}(72, 48) = 2^4 \cdot 3^2 = 144 \)
Итоговые ответы:
- а) НОД(12, 20) = 4, НОК(12, 20) = 60
- б) НОД(50, 80) = 10, НОК(50, 80) = 200
- в) НОД(24, 108) = 12, НОК(24, 108) = 216
- г) НОД(72, 48) = 24, НОК(72, 48) = 144
Таким образом, мы вычислили НОД и НОК для всех заданных пар чисел, используя разложение на простые множители как метод.
